Question

在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),求数列{an}通项公式.？

Answer 1

1)
a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=1/2(1+1/an)
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
所以 ｛1/an-1｝是 首项为 -1/2,公比为 1/2 的等比数列,
故 1/an-1=-(1/2)^n
所以 an=1/[1-(1/2)^n]=2^n/(2^n-1)
2)
ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2)
由于 a1(a1-1)+a2(a2-1)=2+4/9=22/9
且当 i>=3时,ai(ai-1)=2^i/(2^i-1)^2=1/(2^i+1/2^i-2),3,对a(n+1)=2an/(an+1)两边同取倒数
2/a(n+1)=1/an+1
再给上式两边同乘以2^n,可得2^(n+1)/a(n+1)=2^n/an+2^n
令b(n+1)=2^(n+1)/a(n+1),则bn=2^n/an那么有：b(n+1)-bn=2^n,b1=2^1/a1=1
所以：bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-...,2,1.因为a(n+1)=2an/(an+1)
左边右边都成倒数。1/a(n+1)=(an+1)/2an=1/2+1/2an
所以（我怀疑你题目有没有少抄一个2）没有的话告诉我。我继续做。,0,1)令bn=1/an， 则b1=1/2,
因为a(n+1)=2an/(an+1),
所以b(n+1)=bn/2+1/2,
即b(n+1)-1=(bn-1)/2 {若b(n+1)=abn+b,则b(n+1)-b/(1-a)=a[bn-b/(1-a)]}
所以{bn-1}是以-1/2为首项，以1/2为公比的等比数列，bn-1=-(1/2)^n
...,0,在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),求数列{an}通项公式.
第2问：求证： n i=1Σ ai（ai--1）<3. 怎么做,详细过程!O(∩_∩)O谢谢了