Question

求解定积分cos的n次方乘以sinnx的值0-π/2

Answer 1

我们可以使用分部积分法来求解这个定积分。
首先，让我们对被积函数进行分解：
cos^n(x) * sin(nx) = cos^(n-1)(x) * cos(x) * sin(nx)
现在我们可以使用分部积分法，令u = cos^(n-1)(x)和dv = cos(x) * sin(nx) dx。这样，我们可以得到：
v = (-1/n) * cos(nx)
du = (n-1) * cos^(n-2)(x) * (-sin(x)) dx
现在我们将分部积分的结果代入原始积分式，得到：
∫cos^n(x) * sin(nx) dx = - (1/n) * cos^(n-1)(x) * cos(nx) |[0, π/2] + (1/n) * (n-1) * ∫cos^(n-2)(x) * sin^2(x) * cos(nx) dx
我们可以使用三角恒等式sin^2(x) = 1/2 - 1/2 * cos(2x)来化简第二项，得到：
∫cos^n(x) * sin(nx) dx = - (1/n) * cos^(n-1)(π/2) * cos(nπ/2) + (1/n) * cos^(n-1)(0) * cos(0) + (1/2n) * (n-1) * ∫cos^n(x) * (1 + cos(2nx)) dx
因为cos(0) = 1，cos(nπ/2) = 0（当n为奇数时），cos^(n-1)(π/2) = 0（当n为偶数时），所以：
当n为偶数时，该定积分的值为0。
当n为奇数时，该定积分的值为π/2^(n-1)。
因此，该定积分的值为：
当n为偶数时，∫cos^n(x) * sin(nx) dx = 0。
当n为奇数时，∫cos^n(x) * sin(nx) dx = π/2^(n-1)。

Answer 2

把这个积分当做数列的第n项，求出和前一项的关系就能求出数列的通项。