Question

用一张长方形的数学作业纸,围成一个圆柱,怎样围的容积最大?为什么?这里面存在规律吗？

Answer 1

要围成一个圆柱，需要将长方形的纸张沿着某个方向滚起来，使得纸张的两端相接，并且让相接处的边重合成一个圆的周长。如果将纸张沿着长边滚起来，则圆柱的高度为长边的长度，而圆柱的底面半径为短边的长度。因此，圆柱的体积为：
V = πr²h = π(0.5w)²h = 0.25πw²h
其中，w 为长方形的短边长度，h 为长边长度。
要使得圆柱的体积最大，需要优化 w 和 h 的取值。由于纸张的面积一定，即 w * h = S，其中 S 为纸张的面积，因此可以将 h 表示为 h = S/w，代入 V 的公式中得：
V = 0.25πw²(S/w) = 0.25πSw
V 对 w 求导数得：
dV/dw = 0.25πS - 0.5πw²
令 dV/dw = 0，得：
w = sqrt(0.5S/π)
代入 V 的公式中得：
V = 0.25π(S/2π) = 0.125S
因此，当纸张围成的圆柱是最大的时候，它的体积为 0.125S，即纸张面积的八分之一。这个结论可以用数学方法证明，也可以通过物理直觉理解。在所有固定面积的长方形中，正方形的周长最小，因此用正方形围成的圆柱体积最大，而这个圆柱的体积就是纸张面积的八分之一。
因此，用一张长方形的数学作业纸围成的圆柱，当且仅当这张纸是正方形时，围成的圆柱体积最大。