Question

如何求函数在点处的偏导数？

Answer 1

先用定义求出该点的偏导数值c，再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y)，最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限，如果limfx(x,y)=c，即偏导数连续，否则不连续。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

判断可导、可微、连续的注意事项：

1、在一元的情况下，可导=可微->连续，可导一定连续，反之不一定。

2、二元就不满足以上的结论，在二元的情况下：

（1）偏导数存在且连续，函数可微，函数连续。

（2）偏导数不存在，函数不可微，函数不一定连续。

（3）函数不可微，偏导数不一定存在，函数不一定连续。

（4）函数连续，偏导数不一定存在，函数不一定可微。

（5）函数不连续，偏导数不一定存在，函数不可微。

对函数z求全微分得：

dz=f1'(2xdx-2ydy)+f2'(1dx-1dy)/(x-y)，即：

dz=[2xf1'+f2’/(x-y)]dx-[2yf1'+f2’/(x-y)dy,

根据全微分与偏导数的关系，得：

dz/dx=2xf1'+f2’/(x-y),

dz/dy=-[2yf1'+f2’/(x-y)。

直接求导法：

求z对x的偏导数时，把y看成常数，此时有：

dz/dx=f1'*(2x-0)+f2'*(1-0)/(x-y)

=2xf1'+f2’/(x-y);

同理，求z对y的偏导数时，x看成常数，则：

dz/dy=f1'*(0-2y)+f2'*(0-1)/(x-y)

=-2yf1'-f2'/(x-y)。