Question

旋转双叶双曲面方程

Answer 1

双叶旋转曲面方程为x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1。

在几何学中，双叶双曲面（有时称为旋转双曲面或圆形双曲面）是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面。双曲面是可以通过使用方向定标使其变形而从旋转抛物面获得的表面。

双曲面是二次曲面，其可以被定义为三个变量中的二维多项式的点的集合的表面。 在二次曲面中，双曲面的特征在于不仅具有对称中心，而且让平面和其相交还能形成锥体、柱体等。 双曲面还具有三对垂直对称轴和三对垂直对称平面。

给定双曲面，如果选择轴为双曲面对称轴的笛卡尔坐标系，并且原点是双曲面的对称中心，则双曲面可以由以下方程之定义：x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1。

双叶双曲面不包含线，对于平面截面的讨论可以用两个方程式的双曲面H2：x^2+y^2-z^2=-1。

其可以通过围绕其一个轴线（切割双曲线的）的旋转双曲线产生下列四种情况：

（1）斜率小于1的平面（1是生成双曲线的渐近线的斜率）与H2相交或者是椭圆或者是一个点或者不相交；

（2）包含原点的斜率等于1的平面（双曲面的中点）与H2不相交；

（3）不包含原点的斜率等于1的平面与H2相交成抛物线；

（4）斜率大于1的平面和H2相交成双曲线。