Question

求下列不定积分∫sin∧3(ax+b)dx

Answer 1

a ≠ 0 时，
∫sin^3(ax+b)dx = (-1/a)∫sin^2(ax+b)d[cos(ax+b)]
= (-1/a)∫[1-cos^2(ax+b)]d[cos(ax+b)]
= (-1/a)[cos(ax+b) - (1/3)cos^3(ax+b)] + C
a = 0 时，
∫sin^3(ax+b)dx = ∫(sinb)^3dx = x(sinb)^3 + C

Answer 2

亲您好！
下面是∫sin³(ax+b)dx的不定积分计算步骤：
设u = ax + b， du = adx，解得dx = du/a。
将u代入∫sin³(ax+b)dx中，得到∫sin³u * (du/a)。
使用三角恒等式sin³u = (3sinu - sin3u)/4，将其代入上式，得到∫(3sinu - sin3u)/4 * (du/a)。
拆分积分，得到(3/4a)∫sinu du - (1/4a)∫sin3u du。
对第一部分进行积分，得到(3/4a)(-cosu) + C₁，其中C₁为常数项。
对第二部分进行积分，使用三角恒等式sin3u = 3sinu - 4sin³u，得到(-1/4a)∫(3sinu - 4sin³u) du。
再次拆分积分，得到(-1/4a)[(3/2)cosu - (4/3)cos³u] + C₂，其中C₂为常数项。
将u = ax + b代回原积分，得到最终的不定积分表达式为：
(-3/4a)cos(ax + b) + (1/4a)[(3/2)cos(ax + b) - (4/3)cos³(ax + b)] + C，
其中C为常数项。
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