无界函数的广义二重积分是如何定义的?
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无界函数的广义二重积分可以通过将积分区域分解成有限区域，然后取极限的方式来定义。具体来说，设$f(x,y)$是在$x\in[a,b],y\in[c,d]$上的无界函数，其广义二重积分为：
$$\iint_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy=\lim_{M\rightarrow\infty,N\rightarrow\infty}\iint_{R_{M,N}}f(x,y)dxdy$$
其中，$R_{M,N}$是将积分区域$[a,b]\times[c,d]$分成$M\times N$个小矩形区域，每个小矩形的面积为$\Delta x\times\Delta y$，则有：
$$\iint_{R_{M,N}}f(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}f(x_{i,j}^{*},y_{i,j}^{*})\Delta x\Delta y$$
其中，$(x_{i,j}^{*},y_{i,j}^{*})$是第$i$行第$j$列小矩形的任意一点。当$M,N\rightarrow\infty$时，$\Delta x,\Delta y\rightarrow 0$，则上式的极限存在时，称$f(x,y)$在$[a,b]\times[c,d]$上可积，其积分值为上式的极限。
$$\iint_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy=\lim_{M\rightarrow\infty,N\rightarrow\infty}\iint_{R_{M,N}}f(x,y)dxdy$$
其中，$R_{M,N}$是将积分区域$[a,b]\times[c,d]$分成$M\times N$个小矩形区域，每个小矩形的面积为$\Delta x\times\Delta y$，则有：
$$\iint_{R_{M,N}}f(x,y)dxdy=\sum_{i=1}^{M}\sum_{j=1}^{N}f(x_{i,j}^{*},y_{i,j}^{*})\Delta x\Delta y$$
其中，$(x_{i,j}^{*},y_{i,j}^{*})$是第$i$行第$j$列小矩形的任意一点。当$M,N\rightarrow\infty$时，$\Delta x,\Delta y\rightarrow 0$，则上式的极限存在时，称$f(x,y)$在$[a,b]\times[c,d]$上可积，其积分值为上式的极限。
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