Question

如何证明当x＞1时， f(x)≥e

Answer 1

构造函数f（x）哪稿=x-elnx，这个函数在x＞1的范围内，连续并可导。
则f'（x）=1-e/x
很容易可知，x＞1时
当1＜x＜e时，e/x＞1，f'（x）=1-e/x＜0，f（x）单调搭缓晌递减
当x＞e时，0＜e/x＜1，f'（x）=1-e/x＞0，f（x）单调递增
所以f（x）在x=e处取得最小值f（e）=e-elne=e-e=0
所以当x＞1时，f（x）=x-elnx≥0恒成立
即x≥elnx恒成立
因为x＞1，所以知锋lnx＞0
所以x/lnx≥e（不等式两边同时除以正数lnx，不等式不变号）