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1/(x²√4-x²)的不定积分?
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令 x = 2sint, 则 √(4-x²) = 2cost, dx = 2costdt
∫dx/[x²√(4-x²)] = ∫dt/(4sin²t) = (-1/4)cott + C = (-1/4)cot[arcsin(x/2)] + C
∫dx/[x²√(4-x²)] = ∫dt/(4sin²t) = (-1/4)cott + C = (-1/4)cot[arcsin(x/2)] + C
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let
x=2sinu
dx=2cosu du
∫dx/[x^2.√(4-x^2)]
=∫2cosu du/[ 4(sinu)^2.(2cosu)]
=(1/4)∫(cscu)^2 du
=-(1/4)cotu + C
=-(1/4)[√(4-x^2)/x] + C
x=2sinu
dx=2cosu du
∫dx/[x^2.√(4-x^2)]
=∫2cosu du/[ 4(sinu)^2.(2cosu)]
=(1/4)∫(cscu)^2 du
=-(1/4)cotu + C
=-(1/4)[√(4-x^2)/x] + C
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我们可以对这个积分式进行有理化处理。
因为 $\sqrt{4-x^2}$ 出现在分母中,因此我们可以使用三角代换 $x=2\sin \theta$($-\dfrac{\pi}{2}\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2},\;0\leq \sin\theta\leq 1$)。这样,$\sqrt{4-x^2}$ 就变成了 $2\cos \theta$,$dx=2\cos \theta\, d\theta$。
将 $x=2\sin \theta$ 代入原积分式,得到:
$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = \int \dfrac{1}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta} \cdot 2\cos\theta\,d\theta = \dfrac{1}{8}\int \csc^2\theta\,d\theta $$
利用积分公式 $\int \csc^2x\,dx=-\cot x + C$,代回原变量 $x$,得到积分结果为:
$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = -\dfrac{1}{8}\cot(\arcsin\dfrac{x}{2}) + C $$
其中常数 $C$ 为任意常数。
因为 $\sqrt{4-x^2}$ 出现在分母中,因此我们可以使用三角代换 $x=2\sin \theta$($-\dfrac{\pi}{2}\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2},\;0\leq \sin\theta\leq 1$)。这样,$\sqrt{4-x^2}$ 就变成了 $2\cos \theta$,$dx=2\cos \theta\, d\theta$。
将 $x=2\sin \theta$ 代入原积分式,得到:
$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = \int \dfrac{1}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta} \cdot 2\cos\theta\,d\theta = \dfrac{1}{8}\int \csc^2\theta\,d\theta $$
利用积分公式 $\int \csc^2x\,dx=-\cot x + C$,代回原变量 $x$,得到积分结果为:
$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = -\dfrac{1}{8}\cot(\arcsin\dfrac{x}{2}) + C $$
其中常数 $C$ 为任意常数。
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