Question

1/(x²√4-x²)的不定积分？

Answer 1

令 x = 2sint， 则 √(4-x²) = 2cost, dx = 2costdt
∫dx/[x²√(4-x²)] = ∫dt/(4sin²t) = (-1/4)cott + C = (-1/4)cot[arcsin(x/2)] + C

Answer 2

let
x=2sinu
dx=2cosu du
∫dx/[x^2.√(4-x^2)]
=∫2cosu du/[ 4(sinu)^2.(2cosu)]
=(1/4)∫(cscu)^2 du
=-(1/4)cotu + C
=-(1/4)[√(4-x^2)/x] + C

Answer 3

我们可以对这个积分式进行有理化处理。

因为 $\sqrt{4-x^2}$ 出现在分母中，因此我们可以使用三角代换 $x=2\sin \theta$（$-\dfrac{\pi}{2}\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2},\;0\leq \sin\theta\leq 1$）。这样，$\sqrt{4-x^2}$ 就变成了 $2\cos \theta$，$dx=2\cos \theta\, d\theta$。

将 $x=2\sin \theta$ 代入原积分式，得到：

$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = \int \dfrac{1}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta} \cdot 2\cos\theta\,d\theta = \dfrac{1}{8}\int \csc^2\theta\,d\theta $$

利用积分公式 $\int \csc^2x\,dx=-\cot x + C$，代回原变量 $x$，得到积分结果为：

$$ \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} dx = -\dfrac{1}{8}\cot(\arcsin\dfrac{x}{2}) + C $$

其中常数 $C$ 为任意常数。