Question

一判别级数 D=1#1/(n(n+4)) 是否收敛,若收敛,求其和

Answer 1

我们可以使用比较判别法来判断该级数的敛散性。
当�≥1n≥1时，我们可以将分母展开为�2+4�n2+4n，并利用二次函数的性质：
�2+4�=(�+2)2−4n2+4n=(n+2)2−4
得到：
1�(�+4)=1(�+2)2−4≤1(�+2)2n(n+4)1=(n+2)2−41≤(n+2)21
因此，该级数可比较为�p级数：
∑�=1∞1�(�+4)≤∑�=1∞1(�+2)2n=1∑∞n(n+4)1≤n=1∑∞(n+2)21
�p级数∑�=1∞1�2∑n=1∞n21是收敛的，根据比较判别法，原级数也收敛。
接下来我们求出其和。注意到分式1�(�+4)n(n+4)1可以分解为：
1�(�+4)=14(1�−1�+4)n(n+4)1=41(n1−n+41)
因此，
∑�=1∞1�(�+4)=14(∑�=1∞1�−∑�=1∞1�+4)=14(1+12+13+14−15−16−17−⋯ )n=1∑∞n(n+4)1=41(n=1∑∞n1−n=1∑∞n+41)=41(1+21+31+41−51−61−71−⋯)
其中，我们利用了∑�=1∞1�∑n=1∞n1的常见求法。
接下来，我们对括号内的式子进行化简：
1+12+13+14−15−16−17−⋯=(1−12)+(12−13)+(13−14)+(14−15)−16+(−17+⋯ )=1−12+12−13+13−14+14−15−16−17+⋯=1−15−16−17+⋯=1+21+31+41−51−61−71−⋯=(1−21)+(21−31)+(31−41)+(41−51)−61+(−71+⋯)=1−21+21−31+31−41+41−51−61−71+⋯=1−51−61−71+⋯
因此，
∑�=1∞1�(�+4)=14(1−15−16−17+⋯ )=548n=1∑∞n(n+4)1=41(1−51−61−71+⋯)=485
因此，该级数收敛，其和为548485。