Question

作业:已知随机变量X,Y的联合概率密度函数为20e-(5x+4y),x>0,y>0f(x,y)=0？

Answer 1

已知随机变量X，Y的联合概率密度函数为：

f(x, y) =
20 * e^(-5x-4y), x > 0, y > 0
0, otherwise

要求：

• 求P(X+Y ≤ 1)

• 求E(XY)

解：

• 要求P(X+Y ≤ 1)，可以画出函数图像，将不满足条件的部分投影到x轴上，得到积分区间为[0,1]。所以有：

P(X+Y ≤ 1) = ∫∫f(x, y)dxdy，其中积分区域为x>0,y>0,x+y≤1
= ∫0^1∫0^(1-x)20e^(-5x-4y)dydx
= -5/4 + (5/4)e^(-5/4)
约等于0.385。

• 要求E(XY)，可以按照期望的定义式计算。有：

E(XY) = ∫∫xyf(x,y)dxdy，其中积分区域为x>0,y>0
= ∫0^∞∫0^∞20xye^(-5x-4y)dxdy
= 1/(5*4)
= 0.05

所以，E(XY)等于0.05。