Question

从对角矩阵的对角线上的元素都是同一个行列式提出行列式的方法？

Answer 1

对角矩阵是一种特殊的方阵，其对角线上的元素都是非零的，而其它元素都是零。对于一个 n 阶对角矩阵，其行列式等于其对角线上的元素的乘积，即：
|d1 0 0 ... 0|
| 0 d2 0 ... 0|
| 0 0 d3 ... 0|
|... ... ... ... ...|
| 0 0 0 ... dn|
其中，d1, d2, ..., dn 分别为对角线上的元素。
可以通过数学归纳法来证明这个结论。当 n = 1 时，结论显然成立；假设结论对于 n - 1 阶对角矩阵成立，即其行列式为 (d1)(d2)...(dn-1)。对于 n 阶对角矩阵，可以将其展开成一组 (n-1) 阶对角矩阵和一个 (n-1) 阶零矩阵的和，即：
|d1 0 0 ... 0|
| 0 d2 0 ... 0|
| 0 0 d3 ... 0|
|... ... ... ... ...|
| 0 0 0 ... dn| =
|d1 0 0 ... 0|
| 0 d2 0 ... 0|
| 0 0 d3 ... 0|
|... ... ... ... ...|
| 0 0 0 ... 0| +
| 0 0 0 ... 0|
由于零矩阵的行列式为 0，根据行列式的加法公式和归纳假设，可得到 n 阶对角矩阵的行列式为 (d1)(d2)...(dn-1)(dn)，即结论成立。
因此，从对角矩阵的对角线上的元素都是同一个行列式提出行列式的方法是直接将对角线上的元素相乘。