函数的极值与最大值最小值
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函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点。定理(第一种充分条件)设函数在点处连续,在的某去心邻域内可导。
(1)若时,而时,则函数在处取得极大值。
(2)若时,而时,则函数在处取得极小值。
(3)如果时,不改变符号,则函数在处没有极值。
(4)列表判断(考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况蠢乱,以便确定该点是贺宴否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值)。
极值是函数的局部性概念:
因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值。驻点和不可导点统称为临界点。函数的极值必在临界点处取得。极值的判别法要注意使用条件极值与最值的关系:函数的极大值和极小值概念是局部性的。
如果是函数的一个极大值,那只是就附近的一个局部范围来说,是的一个最大值。如果就的整个定义域来说,不一定是最大值。对于极小值情况类似。设函数在闭区间上连续,则函数的最大值和最小值一定存在。函数的最大值和最小值有可能在区间的端点带拍档取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间内取得。
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