Question

如何用拉格朗日中值定理求极值？

Answer 1

一、拉格朗日中值定理求极限公式：

lim［ln（1+tanx）-ln（1+sinx）］/x³ （x→0）

根据拉格朗日中值定理，对每一个在0附近邻域的x，tanx~sinx是一个考虑的区间，设f（x）＝ln（1+x），那么有：

ln（1+tanx）-ln（1+sinx）

＝f'（ξ）·（tanx-sinx）

f'（ξ）＝1/（1+ξ），且ξ在tanx与sinx之间。

我们可以把ξ看成是x的一个函数即ξ（x），那有极限＝lim［（tanx-sinx）/（1+ξ（x））］/x³

x→0时，sinx和tanx都→0，所以ξ（x）→0。故＝lim（tanx-sinx）/x³，根据洛必达法则就可得出极限为1/2。