求由曲线y=x2及直线x=2、y=0所围平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积．
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【答案】：解：
①绕x轴旋转所得纯悉旋转体的体积：
V₁=[0，2]∫πy²dx=[0，2]∫π(x³)²dx=[π(x^7)/7]︱[o，2]=128π/7
②绕渣培y轴旋转所得旋转体的体积：x=y^(1/3)，y₁=0，y₂=8.
V₂=32π-[0，8]∫π[y^(1/3)]²dy=32π-[0，8]π∫[y^(2/做梁乎3)]dy=32π-π[(3/5)y^(5/3)]︱[0，8]
=32π-π[(3/5)8^(5/3)=32π-(96/5)π=(64/5)π=12.8π
①绕x轴旋转所得纯悉旋转体的体积：
V₁=[0，2]∫πy²dx=[0，2]∫π(x³)²dx=[π(x^7)/7]︱[o，2]=128π/7
②绕渣培y轴旋转所得旋转体的体积：x=y^(1/3)，y₁=0，y₂=8.
V₂=32π-[0，8]∫π[y^(1/3)]²dy=32π-[0，8]π∫[y^(2/做梁乎3)]dy=32π-π[(3/5)y^(5/3)]︱[0，8]
=32π-π[(3/5)8^(5/3)=32π-(96/5)π=(64/5)π=12.8π
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