Question

如何证明圆周角等于它所对的圆心角的一半？

Answer 1

圆周角度数定理的另一种证明方法

圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．

求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．

已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分别是 所对的圆心角和圆周角．

求证：∠AOB=2∠ACB

证明：当圆心O在∠ACB的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．

当圆心O在∠ACB的外部时，如图(2)．联结OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

当圆心O在∠ACB的内部时，如图(3)．联结OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半