Question

f(x)=x*㏑x-ax²的单调性？

Answer 1

我们首先需要求出该函数的导数，然后根据导数的正负性来判断函数的单调性。
f(x) = x * ㏑x - ax²
f'(x) = 1 * ㏑x + x * 1/x - 2ax （使用乘积法则和链式法则求导）
simplify f'(x) = 1 + ㏑x - 2ax
令 f'(x) = 0，解得 x = e^(2a-1) / e
当 x < e^(2a-1) / e 时，f'(x) < 0，函数单调递减；
当 x > e^(2a-1) / e 时，f'(x) > 0，函数单调递增。
因此，当 x < e^(2a-1) / e 时，f(x) 是单调递减函数；当 x > e^(2a-1) / e 时，f(x) 是单调递增函数。

Answer 2

我们可以求出 f(x) 的一阶和二阶导数来研究它的单调性。f(x) 的一阶导数为：f'(x) = 1 + ㏑x - 2axf(x) 的二阶导数为：f''(x) = 1/x - 2a对于 f'(x)，当它大于零时，说明函数 f(x) 在该点处单调递增；当它小于零时，说明函数 f(x) 在该点处单调递减。我们可以求出 f'(x) 的零点来确定 f(x) 的单调性的变化点：1 + ㏑x - 2ax = 0解得：x = e^(2a-1)因此，当 x < e^(2a-1) 时，f'(x) < 0，f(x) 在该区间内单调递减；当 x > e^(2a-1) 时，f'(x) > 0，f(x) 在该区间内单调递增。对于 f''(x)，当它大于零时，说明函数 f(x) 凸向上；当它小于零时，说明函数 f(x) 凸向下。由于 f''(x) 是常数函数，因此 f(x) 在定义域内始终保持凹向上或凹向下的状态，不会发生变化。因此，当 x < e^(2a-1) 时，f(x) 在该区间内单调递减且凸向下；当 x > e^(2a-1) 时，f(x) 在该区间内单调递增且凸向上。