Question

求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解和特解。4y”+4y+y=0,y(0)=2,y(0)=0

Answer 1

【答案】：特征方程 4r^2 +4r +1=0, r1=r2=-1/2
基本解组: e^(-x/2 ), x*e^(-x/2 )这就是两个线性无关解。
通解 y=c1*e^(-x/2 )+c2*x*e^(-x/2 )=(c1+c2*x)e^(-x/2 )
y'=c2*e^(-x/2 )-(1/2)(c1+c2*x)e^(-x/2 )=(1/2)(2c2-c1-c2*x)e^(-x/2 )
y（(0)=2，y'(0)=0得 c1=2，c2=1
特解y=(1+2x)e^(-x/2 )