Question

已知f(x)= sinxdx，则积分结果是多少？

Answer 1

结果是 (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

x = sinθ，dx = cosθ dθ

∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ

= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C

= (arcsinx)/2 + (sinθcosθ)/2 + C

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

以上内容参考来源：百度百科-不定积分

Answer 2

函数不可能是sinxdx，这是一个微分，不是一个函数，应该是f(x)=sinx
而一个函数的积分有很多不同类型，你需要说你球啥积分。如果啥都不说，假定是不定积分，当然就是-cosx +C