矩阵相似对角化步骤

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紫藤千林86
2023-07-06 · 超过149用户关注了TA
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矩阵对角化的步骤是A2=A可以x2-x=0看作A的一个零化多项式,再由无重根就可得到该矩阵可对角化。

假设矩阵为A,则充要条件为:

1)A有n个线性无关的特征向量.

2)A的极小多项式没有重根.

充分非必要条件:

1)A没有重特征值

2)A*A^H=A^H*A
必要非充分条件:

f(A)可对角化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数

幂等矩阵的运算方法:

(1)设A,A都是幂等矩阵,则(A+A)为幂等矩阵的充分必要条件为:A·A=A·A=0,且有:R(A+A)=R(A)⊕R(A);N(A+A)=N(A)∩N(A);

(2)设A,A都是幂等矩阵,则(A-A)为幂等矩阵的充分必要条件为:A·A=A·A=A,且有:R(A-A)=R(A)∩N(A);N(A-A)=N(A)⊕R(A);

(3)设A,A都是幂等矩阵,若A·A=A·A,则A·A为幂等矩阵,且有:R(A·A)=R(A)∩R(A);N (A·A)=N(A)+N(A)。

幂等矩阵的其他性质:

幂等矩阵的特征值只可能是0,1

幂等矩阵可对角化

幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)=rank(A)

可逆的幂等矩阵为E;

方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;

幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;

幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);

A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

假设矩阵为A,则充要条件为:

1)A有n个线性无关的特征向量.

2),A的极小多项式没有重根.

充分非必要条件:

1)。A没有重特征值

2)A*A^H=A^H*A必要非充分条件:f(A)可对角化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数。

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