Question

通项为n×(2n-1)的前n项的和？

Answer 1

要求前n项的和，我们可以使用数学归纳法来推导。
首先，我们可以列出前几项的和：
第1项：1 × (2 × 1 - 1) = 1
第2项：2 × (2 × 2 - 1) = 6
第3项：3 × (2 × 3 - 1) = 15
第4项：4 × (2 × 4 - 1) = 28
通过观察，我们可以发现每一项的和都可以写为n²。
现在，我们来使用数学归纳法证明这个结论。
1. 基础情况：当n = 1时，前1项的和为1，等于1²。结论成立。
2. 归纳假设：假设当n = k时，前k项的和为k²成立，即1² + 2² + ... + k² = k²。
3. 归纳步骤：我们需要证明当n = k + 1时，前k + 1项的和为(k + 1)²。
根据归纳假设，前k项的和为k²，那么前k + 1项的和可以表示为：
1² + 2² + ... + k² + (k + 1)²

我们可以将(k + 1)²展开为k² + 2k + 1，然后将其与前k项的和相加：
k² + (k + 1)² = k² + k² + 2k + 1 = 2k² + 2k + 1

我们可以将2k² + 2k + 1写为(k + 1)²，所以前k + 1项的和为(k + 1)²。

因此，根据数学归纳法，对于通项为n × (2n - 1)的前n项的和，可以写为n²。
希望这个解答对你有帮助。如果你还有其他问题，请随时提问。

Answer 2

通项为n×(2n-1)的数列的前n项和可以表示为：
S = 1×(2×1-1) + 2×(2×2-1) + 3×(2×3-1) + ... + n×(2n-1)
= (1×2×1) + (2×2×2) + (3×2×3) + ... + (n×2×n) - (1+2+3+...+n)
= 2(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) - (1+2+3+...+n)
利用平方和公式和等差数列求和公式，可以得到：
S = 2[ n(n+1)(2n+1)/6 ] - [ n(n+1)/2 ]
= n^2(4n-1)/3