如何理解函数在定义域内处处可导

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社无小事
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2023-07-03 · 认真答题,希望能帮到你
社无小事
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1、第一充分条件:

(1)如果x∈(x₀-δ,x₀),有f'(x)>0;而x∈(x₀,x₀+δ),有f'(x)<0,则f(x)在x₀处取得极大值。

(2)如果x∈(x₀-δ,x₀),有f'(x)<0;而x∈(x₀,x₀+δ),有f'(x)>0,则f(x)在x₀处取得极小值。

(3)如果当x∈(x₀-δ,x₀)及x∈(x₀,x₀+δ)时,f'(x)符号相同,则f(x)在x₀处无极值。

2、第二充分条件:

设f(x)在x₀处具有二阶导数,且f'(x₀)=0,f''(x₀)≠0,那么当f''(x₀)<0时,函数f(x)在x₀处取得极大值;当f''(x₀)>0,函数f(x)在x₀处取得极小值。

1、二阶导数的性质:

(1)判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0,而二阶导数大于0时,为极小值点。当一阶导数等于0,而二阶导数小于0时,为极大值点;当一阶导数和二阶导数都等于0时,为驻点。

(2)函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么:

若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

2、二阶导数的几何意义:

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。

光点科技
2023-08-15 广告
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