Question

如何理解函数在定义域内处处可导

Answer 1

1、第一充分条件：

（1）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＞0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＜0，则f（x）在x₀处取得极大值。

（2）如果x∈（x₀-δ，x₀），有f'（x）＜0；而x∈（x₀，x₀+δ），有f'（x）＞0，则f（x）在x₀处取得极小值。

（3）如果当x∈（x₀-δ，x₀）及x∈（x₀，x₀+δ）时，f'（x）符号相同，则f（x）在x₀处无极值。

2、第二充分条件：

设f（x）在x₀处具有二阶导数，且f'（x₀）=0，f''（x₀）≠0，那么当f''（x₀）＜0时，函数f（x）在x₀处取得极大值；当f''（x₀）＞0，函数f（x）在x₀处取得极小值。

1、二阶导数的性质：

（1）判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

（2）函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么：

若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

2、二阶导数的几何意义：

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。