Question

求高中数学习题！！

大家帮我找点题。属于用画图的方法解决的题，最好有答案。尤其最好不要直接把某网站的地址粘过来喔！还有啊，我是高一的孩，马上升高二的。
准确点说，是原题中不一定有图的，但是最好的解题方法就是画图。谢谢大家帮忙了！

Answer 1

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Answer 2

　　数形结合思想(有些图和解答过程无法显示出来，最好发邮箱)

　　例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围
　　命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目
　　知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C B用不等式这一数学语言加以转化
　　错解分析 考生在确定z=x2，x∈〔–2,a〕的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图像将是上策 不能漏掉a＜–2这一种特殊情形
　　技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决
　　解 ∵y=2x+3在〔–2, a〕上是增函数
　　∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}
　　作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下
　　①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}
　　要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾
　　②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知
　　必须且只需
　　解得 ≤a≤2
　　③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，
　　要使C B必须且只需
　　解得2＜a≤3
　　④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立
　　综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪〔 ,3〕
　　例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证
　　命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力
　　知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上
　　错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二
　　技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题
　　证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
　　sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图
　　从而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2
　　=2–2cos(α–β)
　　又∵单位圆的圆心到直线l的距离
　　由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即

　　∴
　　例3曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围
　　解析 方程y=1+ 的曲线为半圆，
　　y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线

　　答案 （ 〕
　　例4设f(x)=x2–2ax+2,当x∈〔–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围
　　解法一 由f(x)＞a，在〔–1,+∞)上恒成立
　　x2–2ax+2–a＞0在〔–1,+∞)上恒成立
　　考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图像在〔–1,+∞〕时位于x轴上方
　　如图两种情况
　　不等式的成立条件是
　　(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)
　　(2) a∈(–3,–2 ，
　　综上所述a∈(–3,1)
　　解法二 由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)
　　令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图像
　　如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，
　　故直线l对应的a∈(–3,1)
　　学生巩固练习
　　1 方程sin(x– )= x的实数解的个数是( )
　　A 2 B 3 C 4 D 以上均不对
　　2 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为( )
　　A α＜a＜b＜β B α＜a＜β＜b
　　C a＜α＜b＜β D a＜α＜β＜b
　　3 (4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是
　　4 已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是
　　5 设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β
　　（1）求a的取值范围；
　　（2）求tan(α+β)的值
　　6 设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y– )2=a2,a＞0},且A∩B≠ ，求a的最大值与最小值
　　7 已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值
　　8 把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

　　参考答案
　　1 解析 在同一坐标系内作出y1=sin(x– )与y2= x的图像如图

　　答案 B
　　2 解析 a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图像如图所示

　　答案 A
　　3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)
　　点A的几何图形是椭圆，点B表示直线
　　考虑用点到直线的距离公式求解
　　答案
　　4 解析 解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得
　　答案 a＞3
　　5 解 ①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=– 的图像，知
　　当｜– ｜＜1且– ≠ 时，曲线与直线有两个交点，
　　故a∈(–2,– )∪(– ,2)
　　②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a
　　相减得tan ，
　　故tan(α+β)=3
　　6 解 ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心， a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆 如图所示

　　∵A∩B≠ ，∴半圆O和圆O′有公共点
　　显然当半圆O和圆O′外切时，a最小
　　a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2
　　当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大
　　此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2
　　7 解 由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,
　　∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜
　　如图

　　由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知
　　– ≤｜PA｜–｜PF2｜≤
　　当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
　　当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号
　　即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为 ，–
　　于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–
　　8 解 本题实际上是求正方形窗口边长最小值
　　由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小
　　如图

　　设AE=x,BE=y,
　　则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y
　　∴
　　∴

Answer 3

棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1被以A为球心 AB为半径的球相截 则被截去后剩余形体的表面积为
==============
已知f(x)=log4 (4^x+1)+kx(k是实数）是偶函数。
（1）求k的值
（2）证明对任意实数b，函数y=f(x)的图像与直线
y=x/2+b最多只有一个交点。
已知f(x)=log4 (4^x+1)+kx(k是实数）是偶函数，则：f(-x)=f(x)
===> log4(4^-x+1)-kx=log4(4^x+1)+kx
===> log4(4^-x+1)-log4(4^x+1)=2kx
===> log4[(4^-x+1)/(4^x+1)]=2kx
===> (4^-x+1)/(4^x+1)=4^(2kx)
===> 4^-x+1=4^(2kx+x)+4^(2kx)
===> 1+4^x=4^(2kx+2x)+4^(2kx+x)
===> 4^x[4^(2kx+x)-1]+[4^(2kx+x)-1]=0
===> [4^(2kx+x)-1]*(4^x+1)=0
因为，4^x+1≠0,所以：
===> 4^(2kx+x)-1=0
===> 2kx+x=0
===> x(2k+1)=0
===> k=-1/2

2.
由(1)知，f(x)=log4(4^x+1)-(x/2)。所以：
函数y=f(x)的图像与直线y=x/2+b的交点为
log4(4^x+1)-(x/2)=x/2+b
===> log4(4^x+1)=x+b
===> 4^x+1=4^(x+b)=(4^b)*(4^x)
===> (4^x)*(4^b-1)=1
当b=0时，4^b-1=0，上述方程无解。即，函数y=f(x)的图像与直线无交点；
当b<0时，4^b-1<0，而4^x>0，上述方程无解。即，函数y=f(x)的图像与直线也无交点；
当b>0时，4^b-1>0,4^x>0,则：
===> 4^x=1/(4^b-1)
===> x=log4[1/(4^b-1)]
===> x=-log4(4^b-1)
这就决定了只有一个交点。
综上所述，对任意实数b，函数y=f(x)的图像与直线y=x/2+b最多只有一个交点。
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设圆C：x2+y2=1，直线l:x+y-2=0,点M（x0,y0)∈l,若圆C上存在四个点Qi(i=1,2,3,4),使∠OMQi=30°,则x0的取值范围是

在直线l上找一点，过这一点作圆C的两条切线MA,MB，切线与OM的夹角应该＞30°，

观察，M点距离O点越远，∠AMO和∠BM0越小。
先研究临界位置————∠AMO=∠BMO=30°，
此时圆上只有两个点A、B满足条件，
此时MO=√x0²+（2-x0²）=2OA=2
解得x0=0或者x0=2

如果M点从临界位置远离圆C运动，∠AMO将＜30°，此时作与OM夹角为30°的两条直线，与圆C交点将少于4个
而M点从临界位置靠近圆C运动，作与OM夹角为30°的两条直线，与圆C交点恰好为4个。
∴x0的范围为（0，2）