Question

求解这个题的第二问

Answer 1

由题可知：X服从二项分布B(4，0.5)，Y服从参数为2的指数分布。
要求P{4X-Y>10}，首先可以通过对X和Y的分布进行分析，得到4X-Y的分布。
对于二项分布B(n,p)，其期望和方差分别为np和np(1-p)。因此，对于X服从B(4，0.5)，有：
E(X) = np = 4 × 0.5 = 2
Var(X) = np(1-p) = 2
由于Y服从参数为2的指数分布，其概率密度函数为：
f(y) = 1/2 * exp(-y/2)，y > 0
因此，可以得到4X - Y的概率密度函数为：
f(x,y) = f(x) f(y) = [C(4,x) 0.5^4 (1-0.5)^(4-x)] [1/2 exp(-y/2)]
= C(4,x) exp(-y/2) / 16
要求P{4X-Y>10}，可以将不等式两边都取指数，得到：
exp(4X-Y) > exp(10)
即：
4X exp(-Y/4) > e^(-10)
所以有：
P{4X-Y>10} = P{4X exp(-Y/4) > e^(-10)} = P(X>10/e(-10)*exp(Y/4))=0.5-0.5*(1-(1-e-(5/2))^4)
其中最后一个等式用到了X是二项分布，或者直接用二项分布的概率质量函数求解，具体见下面：
P{4X-Y>10} = ∑(x=0)^4 ∫(10+4x)/e^(-10) 1/2 exp(-y/4) dy
= ∑(x=0)^4 [1 - exp(-(10+4x)/2)]
= [1 - exp(-5)]^4
≈ 0.621
因此，P{4X-Y>10}≈0.621。