Question

28.用拉氏变换求解方程 y`(t)+y(t)=e`, 其中 y(0)=1？

Answer 1

要使用拉普拉斯变换求解该方程，首先将其转化为拉普拉斯域的代数方程。根据给定的初始条件 y(0) = 1，我们可以在方程两边应用拉普拉斯变换来求解。
根据拉普拉斯变换的定义和导数性质，我们有：
L{y'(t)} = sY(s) - y(0)
L{y(t)} = Y(s)
L{e} = 1/s
将上述变换应用于给定的方程，得到：
sY(s) - 1 + Y(s) = 1/s
移项后，整理出 Y(s) 的表达式：
Y(s) = 1 / (s + 1 - 1/s)
接下来，我们需要对 Y(s) 进行部分分数分解，以便找到 Y(s) 的反变换。
将 Y(s) 进行部分分数分解，可以得到：
Y(s) = 1 / [(s+1) - 1/s]
= 1 / [(s^2+s-1)/s]
= s / (s^2+s-1)
现在，我们需要找到 Y(s) 的反变换，即找到使 sY(s) 的部分分数分解为真分式的表达式。
我们可以使用部分分数的分解方法，将 Y(s) 的表达式分解为两个部分分别进行反变换：
Y(s) = s / (s^2+s-1)
= A / (s-φ1) + B / (s-φ2)
其中，A 和 B 是待确定的常数，φ1 和 φ2 是方程 s^2+s-1 = 0 的两个根。
解方程 s^2+s-1 = 0，得到两个根 φ1 和 φ2，可以使用求根公式或其他方法得到：
φ1 = (-1 + sqrt(5)) / 2 (黄金分割比)
φ2 = (-1 - sqrt(5)) / 2
将上述表达式代入部分分数分解中，我们可以得到：
Y(s) = (A / (s-φ1)) + (B / (s-φ2))
然后，我们可以通过合适的选择 A 和 B 的值，使得 Y(s) 与上述表达式相等。
接下来，我们需要找到使 Y(s) 的部分分式分解的形式与 Laplace 反变换表中的条目匹配的公式。
在这种情况下，我们可以通过查表或使用拉普拉斯反变换的性质（转换定理）来找到原始域的表达式。
最终，我们将得到 y(t) 的结果。