Question

为什么傅里叶级数一定收敛于原函数？

Answer 1

定理（收敛定理，狄利克雷（Dirichlet）充分条件）设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足：
①在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
②在一个周期内至多只有有限个极值点；
那么f(x)的傅里叶级数收敛，并且
当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；
当x是f(x)的第一类间断点时，级数收敛于(1/2)*[f(x-)+f(x+)]；
收敛定理告诉我们：只要函数在[-π，π]上至多有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动，函数的傅里叶级数在连续点处就收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点的左极限与右极限的算术平均值。
可见，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。