r(a)与r(b)的关系是什么?
关系是r(A)+r(B)<=n。
因为AB=0,所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论,AX=0的基础解系中线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)≤ n-r(A)。
而B的列向量组是解空间的一部分,所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数,也就是≤ n-r(A),所以r(B)≤ n-r(A),从而r(A)+r(B)<=n。
扩展资料
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者,表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。
设A是一组向量,定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1、在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。
例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n) 易得:
若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5)知,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。
2024-10-13 广告