Question

圆内接四边形的性质

Answer 1

圆内接四边形的性质如下：

1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180° 。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC 。

3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB 。

4、圆内接四边形对应三角形相似：△ABQ∽△DCQ 。

5、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD 。

7、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD。

例题：在圆内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，则BC的长为多少？答案：使用余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，因为：圆内接四边形对角互补，所以：∠C=60°，使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]所以：BC=(7√6)/3。

判定定理

1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆。

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆。

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆。

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆。

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。

6、相交弦定理的逆定理。

7、托勒密定理的逆定理。