Question

高中数学题，急求。

为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求C＝60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌的稳固，要求AC的长度越短越好，求AC 最短长度。
图，

Answer 1

根据余弦定理
AB^2=BC^2+AC^2-2 AC*BC cos C
假设AC=x,BC=y
AB=x-0.5
y>=1

所以AB^2=BC^2+AC^2-2 AC*BC cos C变成
(x-0.5)^2=y^2+x^2-x y
这里用到了C=60，所以cos C=1/2
y^2-x y+x-1/4=0
这个方程必须有y>=1的根。
根据一元二次方程判别式，这个方程有根的条件是
x^2-4(x-1/4)>=0
x^2-4x+1>=0
(x-2)^2-3>=0
所以 x-2>=根号3 或者 x-2<=-根号3
所以x>=2+根号3 或者 x<=2-根号3

这个方程 y^2-x y+x-1/4=0 有两个根
y=[x+根号（x^2-4x+1）]/2 和 y=[x-根号（x^2-4x+1）]/2
后一个根小，小一个根大。题目要求这个方程必须有y>=1的根，所以只要第一个根大于1，即满足条件。
[x+根号（x^2-4x+1）]/2>1
根号（x^2-4x+1）>2-x
分两种情况讨论，
1）如果x>=2+根号3
根号（x^2-4x+1）〉=0
2-x<0
所以不等式（x^2-4x+1）>2-x恒成立

2）如果x<=2-根号3
根号（x^2-4x+1）>2-x
两边平方
x^2-4x+1>4-4 x+x^2
1>4
不成立，所以x<=2-根号3时，不等式无解。

综上，x>=2+根号3
所以AC>=2+根号3。

所以AC 最短长度2+根号3。

Answer 2

解：设 a = BC = X m（ X > 1 ） ,c = AB = Y m ，则b = AC = Y + 0.5 m
在三角形ABC由余弦定理得c^2 = a^2 + b^2 + 2ab cosC
整理得 Y = ( X^2 - X/2 + 1/4 )/( X - 1 )
= [ ( X - 1 )^2 + 3/2 ( X - 1 ) + 3/4 ]/( X - 1 )
= ( X-1 ) + 3/2 + 3/[ 4 ( X - 1 ) ]
>= 根号3 + 3/2
当且仅当 ( X-1 ) = 3/[ 4 ( X - 1 ) ] 即 X = (根号3)/2 + 1 时成立
所以b = Y + 0.5 >= 根号3 + 3
所以AC 最短长度为(根号3 + 3) m.

Answer 3

不好意思没有图不能帮你解答