Question

怎么求三次函数的对称中心？

Answer 1

当我们要推导一个三次函数的对称中心时，我们首先需要找到函数的对称轴，也就是函数图像的轴对称线。对称轴的方程形式为 x = h，其中 h 是对称轴的 x 坐标。
让我们考虑一个一般的三次函数：
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
为了找到对称轴的 x 坐标，我们可以使用以下步骤：
将函数进行平移，使对称轴变为函数的新 x 轴。平移的方法是将 x 替换为 x - h，其中 h 是我们要找的对称轴的 x 坐标。
令 u = x - h，我们可以将函数表示为：
f(u + h) = a(u + h)^3 + b(u + h)^2 + c(u + h) + d
化简函数表达式。
f(u + h) = a(u^3 + 3u^2h + 3uh^2 + h^3) + b(u^2 + 2uh + h^2) + c(u + h) + d
展开并合并项。
f(u + h) = au^3 + (3ah + bu^2) + (3ah^2 + 2bh + cu) + (ah^3 + bh^2 + ch + d)
将函数还原为 x 的形式。
f(x) = ax^3 + (3ah + bx^2) + (3ah^2 + 2bh + cx) + (ah^3 + bh^2 + ch + d)
比较原始函数和还原后的函数，我们可以得到以下关系：
a = a
3ah + b = 0
3ah^2 + 2bh + c = 0
ah^3 + bh^2 + ch + d = d
由第二个等式 3ah + b = 0，我们可以解得 h = -b / (3a)。
所以，对称中心的 x 坐标为 -b / (3a)。
要找到对称中心的 y 坐标，我们将 x = -b / (3a) 代入原始函数 f(x) 的表达式中即可。
因此，对称中心的坐标为 (-b / (3a), f(-b / (3a)))。