Question

高中复数问题

已知a,b为复数，给出下列四个命题
1若a^2属于R，则a属于R或是a纯虚数
2若a的模=b的模，则a=正负b或a=bi
3若a+b属于R，则ab属于R或a=b共轭复数
4若a+b>0，且ab>0，则a>0且b>0
求逐条解析，谢谢！

Answer 1

设a=x+iy，b=m+in，其中x，y，m，n是实数
1。a^2=x^2-y^2+2xyi属于R，则x与y其中之一为0，即使2xyi为0。x为0则为纯虚数，y为0则属于R，正确
2。|a|=√（x^2+y^2）,|b|=√（m^2+n^2）,满足x^2+y^2=m^2+n^2的值很多，例如x=3，y=1，m=1，n=-3，错误
3。a+b=(x+m)+(y+n)i,y+n=0,,若yn≠0，则a，b不属于R，若x，m不相等则a，b不为共轭复数，错误
4。a+b=(x+m)+(y+n)i,ab=(xm-yn)+(xn+ym)i,其实“a>0且b>0”本身就错误了，复数不能与0比较大小，错误

Answer 2

1,正确，设a^2=c,c属于R，若C>0则a等于c的平方根，若c=0,则a=0，若C<0则a为纯虚数，
2，错误,如a=1+2i,b=2-i，
3,错误，如a=3+i,c=4-i，
4,错误，如a=4-3i,b=4+3i这个命题在实数集中成立，在复数集中不成立。

Answer 3

其实复数可以看作向量，这个向量有i和1来两个支，且这两个支垂直，这个就像力在垂直坐标系下的两个分量，所以普通的复数不能比较大小，复数的模就是那个力的大小。
怎么理解复数的偏转和放缩作用，放缩就是原向量按照被乘的向量的模的大小来放大自己，旋转就是旋转被乘复数的角度。把复数化成三角的形式后，很容易就看出了这种效果。