Question

已知实数x,y满足x^2+y^2=1,求(y+2)/(x+1)的取值范围.

Answer 1

方法一:
令(y+2)/(x+1)=t，于是y=t(x+1)-2，代入已知等式，整理成关于x的一元二次方程，故方程判别式大于等于0。经整理，得t>=3/4，此即(y+2)/(x+1)的取值范围。

方法二:

k=(y+2)/(x+1)
所以k就是过点(-1,-2)的直线的斜率
x，y满足x^2+y^2=1
所以就是求过点(-1,-2)的直线和单位圆有公共点是斜率的取值范围
显然相切时有最值
y+2=kx+k
kx-y+k-2=0
相切责圆心到直线距离等于半径
所以|0-0+k-2|/√(k^2+1)=1
|k-2|=√(k^2+1)
k^2-4k+4=k^2+1
k=3/4

还有一条切线是x=-1，因为(0,0)到x=-1半径
此时k不存在，即无穷大
所以k>=3/4
(y+2)/(x+1)>=3/4

Answer 2

设x=cosA,y=sinA(0<=A<2pi且A不等于pi,其中pi为圆周率)
利用倍角公式：cos(2T)=(2tanT)/(1+tanT*tanT),cos(2T)=(1-tanT*tanT)/(1+tanT*tanT)
(y+2)/(x+1)=(sinA+2)/(cosA+1)
整理得到(y+2)/(x+1)=tan(A/2)*tan(A/2)+tan(A/2)+1
=(tan(A/2)+1/2)^2+3/4
>=3/4
A等于0时取得最小值