Question

求助一道高等数学求反常积分的问题

求极限lim x→∞,积分∫下限为0，上限为x，被积分函数为(t*sin(2/t))dt 的值，要求写出计算过程
是x趋近于正无穷大，不是无穷大

Answer 1

先假设lim x→∞,积分(0，x)∫tsin(2/t)dt是x的等阶无穷大，则下列极限在lim x→∞,应为一常数：
I=[(0，x)∫tsin(2/t)dt]/x
应用罗毕达法则对上式分子和分母同时微分。分子的微分是xsin(2/x)。分母的微分是1。结果得：
I=xsin(2/x)=2[sin(2/x)]/(2/x)
令u=2/x，当lim x→∞时，u→0,则有：
I=2[sin(2/x)]/(2/x)=2sinu/u=2。
所以，当lim x→∞,积分(0，x)∫tsin(2/t)dt是x的一阶等阶无穷大。