Question

直线与平面的夹角公式

空间中平面方程为 Ax+By+Cz+D=0 ,法向量n=(A,B,C)
直线方程为(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，方向向量s=(m,n,p)
平面与直线相交成夹角a。
其夹角a的计算公式为 sina = |n·s| / (|n|·|s|)
还是 cosa = |n·s| / (|n|·|s|) ？
是如何推导出来的？（请注明详细过程）
另外，直线在平面上的投影方程是什么？
1楼的回答：方向向量的定义有些不同，方向向量=平面内两天相交直线的法向量的向量积，这不能用简单的类比来得出结论。另外，直线在平面上的投影仍是一条直线，需要的是直线的方程，不是一个常数。
非常感谢1楼的回答，为了不致于对其他想了解此问题的人造成困扰，不能将此采纳为最佳答案。

Answer 1

1.直线sa与面scd所成角的正弦值，无疑就是用a点到面scd的距离h，比上sa的距离，sa已知为1，故，只需求出a到面scd的距离h即可，可通过四面体体积的转换法求出h：
取sc中点f，连接fd，取bc的中点e，连接de
观察四面体sacd
∵sa⊥面abcd，无疑，sa为四面体sacd中面acd上的高，∴四面体sacd的体积可表示为：s△acd*sa/3
①
而△acd的面积可由直角梯形abcd与三角形abc的面积相减得来，代入各已知边长，可求出为：s△acd=s直角梯形abcd-s△abc=(ad+bc)*ab/2
-
ab*bc/2=1/4
将此值代入四面体sacd的①表达式，可得其体积为v(sacd)=1/12
∵h为a点到面scd的距离，∴sacd的体积显然还可以表示成:v(sacd)=h*s△scd/3=1/12
②
问题的关键在于求出△scd的面积：
由于e为bc中点，∴be=ce=bc/2=1/2，于是be=ad，且∵ad‖bc，∴四边形abed为矩形，有ab‖de且de=ab=1
由于∠abc=90°，ab⊥bc，于是de⊥bc，∠dec=90°
sa⊥面abcd，有sa⊥ad，∠sad=90°
于是在rt△sad与rt△dec中，两对直角边sa=de=1，ad=ce=1/2，故斜边sd=sc
=√5/2
由此可知△scd为等腰三角形，底边sd的三线合一，f为sc中点，∴df⊥sc，且cf=sc/2
由sa⊥面abcd，可得sa⊥ab，sa⊥bc，且bc⊥ab，故bc⊥面sba，∴bc⊥sb，sb可在rt△sab中求出为√2，sc可在rt△sbc中求出为√3
于是cf=sf=√3/2
可在rt△cfd中求出df=√2/2
故，s△scd=sc*fd/2=√6/4
代入②，可得出:
(√6/4)*h/3=1/12
<=>h=√6/6
故，sa与面scd所成角的正弦值为h/sa=√6/6
2.连接ef，ac，设ac与de交于点o，各取cd、df的中点m、n，连接om，on，mn，of
易证o同时为de与ac的中点
由o、m分别为ac、cd中点，可得om=ad/2=1/2，且om‖ad
o为de中点，可得oe=od=de/2=1/2
o、f分别为ac、sc中点，可得of‖sa且of=sa/2=1/2
e，f分别为bc，sc中点，可得ef=sb/2=√2/2
故，面sab与面def中，各有两条相交直线sa‖of，ab‖de（第1问已证），故两面平行，于是，所要求的面sab与scd的二面角即为面def与面scd所成的二面角！
sa⊥面abcd，sa‖of，于是of⊥面abcd，of⊥de，再由之前所求，可得到od=oe=of，显然易证△def为等腰直角三角形，de为斜边，故ef⊥df
而n、o分别为df、de中点，故on‖ef，且on=ef/2=√2/4，再由ef⊥df，可得
on⊥df
由于bc已证垂直于面sab，∴ad⊥面sab，ad⊥面def，om⊥面def，om⊥on
而第1问中已证df⊥sc，故有mn⊥df，结合之前证明的on⊥df，且df为面def与面scd的交线，可得出∠onm即为面def与scd所成的二面角（即sab与scd所成二面角）
由om⊥on，∠mon=90°，运用勾股定理和on=√2/4，om=1/4,求出mn=√3/4
（也可通过mn=cf/2=sc/4求出）
故在rt△omn中，cos∠onm=on/mn=√6/3
即，所要求的面sab与面scd所成二面角的余弦值为√6/3

Answer 2

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Answer 3

设所成角为b。夹角a。sinb=|cosa|=|n·s| / (|n|·|s|）。可以参考高三理科数学书。
投影方程。做出直线在平面上的射影。直线的方向向量乘直线与平面夹角就是投影。
比如向量b·cosa。

Answer 4

在物理中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=|F||s|cosθ
在向量a和b的夹角中，夹角即为θ，向量a即为F，向量b则等同于s。
所以a·b=|a||b|cosθ
所以cosθ=a·b/|a||b|
上述公式即推导出来了。
投影方程是d=|s|·|cosθ|=|s·n|/|n|

Answer 5

夹角公式应该用sina = |n·s| / (|n|·|s|)
等号后面表示的是平面的法向量与直线方向向量的数量积。设法向量与直线方向向量的夹角为b，则cosb=|n·s| / (|n|·|s|)。 又因为a=90-b，根据正余弦换算公式sin（90-b）=cosb，所以sina=cosb=|n·s| / (|n|·|s|)。所以要用公式sina=|n·s| / (|n|·|s|)