Question

已知函数fx=2cosx(sinx-cosx)+1 x∈R

已知函数fx=2cosx(sinx-cosx)+1， x∈R
1.求函数fx的最小正周期
2.求函数fx在区间[π/8,3π/4]上的最小值和最大值

写明过程。

Answer 1

f(x)=2sinxcosx-2cos^2x+1
=sin2x-2(1+cos2x)/2+1
=sin2x-cos2x
=根号2sin（2x-pi/4）

周期T=2pi/w=pi

所以单调递增区间[kpi-pi/8,kpi+3pi/8] k属于Z

不难看出f(x)在[pi/8,3pi/4]上的最大值f(3pi/8)=根号2

最小值要比一比

f（pi/8）=0
f(3pi/4)=-1

最小值-1

Answer 2

(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx-2cos^2x+1=sin2x-1-cos2x+1
=sin2x-cos2x=•sin(2x-π/4)
∴由2x-π/4=kπ得x=kπ/2-π/8，对称中心为(kπ/2-π/8，0)
(k∈Z)，
由2x-π/4=kπ+π/2得对称轴为x=kπ/2+3π/8
(
k∈Z).
(2)x∈[π/8，3π/4]，2x∈[π/4，3π/2]，2x-π/4∈[0，5π/4]，∴sin(2x-π/4)∈[-根号2/2，1]
a∈[-1，根号2]