Question

高中数学的直线与方程的有关知识

Answer 1

直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即(参见图一) 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当（参见图二）时，k>=0 ；当（参见图三） 时，k< 0 ；当（参见图三）时， k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：（参见图五）

注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

① 点斜式： y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k，且过点 (x1,y1)

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

② 斜截式：y = kx+b ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

③ 两点式： （参见图六） 直线过两点（x1,y1）(x2,y2) ， 

④ 截矩式：（参见图七）其中直线l 与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b 。

⑤ 一般式：Ax + By + C = 0 （A，B不全为0）

注意：

1 各式的适用范围     

2 特殊的方程如：

平行于x轴的直线：y = b （b为常数）；    平行于y轴的直线：x=a （a为常数）； 

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

① 平行直线系  平行于已知直线 （A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x+B0y+C0 = 0（C为常数）

② 过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k的直线系：y-y0 = k(x-x0) ，直线过定点(x0,y0) ；

（ⅱ）过两条直线 l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 （E为参数），其中直线l2 不在直线系中。

（5）两平行直线距离公式

    在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

（6）两直线平行与垂直

当 l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2 时，(参见图八)

 ； 

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

 l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0  相交

交点坐标即方程组 的一组解。

方程组无解 （参见图十） ；          方程组有无数解  l1 与 l2 重合

（8）两点间距离公式：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，

则  (参见图十一)

（9）点到直线距离公式：一点P(x0,y0) 到直线l1:Ax+By+C=0 的距离 

（参见图十二）

Answer 2

（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即(参见图一) 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当（参见图二）时，k>=0 ；当（参见图三） 时，k< 0 ；当（参见图三）时， k不存在。
②过两点的直线的斜率公式：（参见图五）

注意下面四点：(1)当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程
① 点斜式： y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k，且过点 (x1,y1)
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
② 斜截式：y = kx+b ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③ 两点式： （参见图六） 直线过两点（x1,y1）(x2,y2) ，
④ 截矩式：（参见图七）其中直线l 与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b 。
⑤ 一般式：Ax + By + C = 0 （A，B不全为0）
注意：
1 各式的适用范围
2 特殊的方程如：
平行于x轴的直线：y = b （b为常数）； 平行于y轴的直线：x=a （a为常数）；

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
① 平行直线系 平行于已知直线 （A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x+B0y+C0 = 0（C为常数）
② 过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：y-y0 = k(x-x0) ，直线过定点(x0,y0) ；
（ⅱ）过两条直线 l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 （E为参数），其中直线l2 不在直线系中。

（5）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

（6）两直线平行与垂直
当 l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2 时，(参见图八)
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l1: A1x+B1y+C1 = 0，l2: A2x+B2y+C2 = 0 相交
交点坐标即方程组 的一组解。
方程组无解 （参见图十） ； 方程组有无数解 l1 与 l2 重合

（8）两点间距离公式：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，
则 (参见图十一)

（9）点到直线距离公式：一点P(x0,y0) 到直线l1:Ax+By+C=0 的距离
（参见图十二）