Question

高数求极限 陈文灯数1 习题一 3（1）

我自己做的为什么是错误的啊？？？

Answer 1

关于极限是e的公式你弄错了。
公式是：
x趋于0时，lim(1+x)^(1/x)=e
或者：
x趋于无穷时，lim(1+1/x)^x=e
不管是哪个式子，都是1的无穷次方的形式
而你写的这个式子：(1+x+e^x-1)^(1/(x+e^x-1))
在x趋于0的情况下，你这样写是对的
但是题目求的是x趋于无穷的情况，这时x+e^x-1的极限不是0
所以也就无法套用极限等于e的这种公式了

Answer 2

本题实际上用的是函数的连续性和L'hospital法则,
但到了图中的那步,极限符号就进不去了,因为两个乘积一个是0一个是∞,你的解法中将极限号移进去了,所以得到不正确的结果.但是lim(1+x+e^x-1)^(1/(x+e^x-1))确实是e,
可以用L'hospital推出

过程在图片里

原式
草,nnd图片传不上去,
原式=lim e^{ln (x+e^x)^{[1/(x+e^x-1)][ 1/x](x+e^x-1)}
=e^{lim{[ln(x+e^x)]/[x+e^x-1][(x+e^x-1)/x]}
没办法,凑合看吧

Answer 3

lim(1+x+e^x-1)^(1/(x+e^x-1))不是e
同意一楼的意见！