Question

高中数学竞赛不等式

1.设正实数a、b、c满足a+b+c=abc
证明：1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2
2.设x、y、z是满足x+y+z=1的非负实数，求证：f（x、y、z）=x^2y+y^2z+z^2x≤4/27
3.若x＞0,y＞0,z＞0,且xyz=1
求证:1＜1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)＜2

各位高手帮帮忙，给详细一点的解答，如果全部答出的话，我会再加50分的，答的好我还可以再加一些分的

Answer 1

1
换元a=tana b=tanb c=tanc（偷个懒看懂就行了且abc属于（0，π/2）） tana+tanb+tanc =tanatanbtanc 易知a+b+c=180度
即证1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosa+cosb+cosc《3/2
琴生易证之
2 我是硬算的
首先 取等条件2/3,1/3,0，可设z》x，z》y （但不能设z》x》y） x+y+z=1
将y=1-z-x 代入 化简为-x^3+x^2+(3z^2-2z)x+z^3-2z^2+z 把z看做常数对x求导
为 -3x^2+2x+3z^2-2z=(z-x)(3x+3z-2)令此式》0 由z》x 得x》（2-3x）/3
又0《x《1-z 对每个给定的z x必在0或1-z时得到最大值 0时y=1-z 原式=z^2-z^3 易算得z^2-z^3《4/27 （0《z《1） x=1-z时同理
3 ls那位的方法很好 这题也可用拉格朗日的条件极值公式算（lz是搞竞赛的建议你看看这种方法，很强大）由公式 存在k满足 -1/（1+x）^2+yzk=0 -1/（1+y）^2+xzk=0 -1/（1+z）^2+yxk=0 即k=x/(1+x)^2=y/(1+y)^2=z/(1+z)^2
研究函数x/(1+x)^2 单调性可知f(x)=k至多两个交点 故xyz中至少有两个相等
设为y=z 即xy^2=1 代入x/(1+x)^2=y/(1+y)^2得y趋于0或y趋于或y=1
最值必在这三个极值中出现，找出对应的值2,1,3/2 故得出结论
拉格朗日乘数法定义：
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λ(x,y)，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即 L’x(x,y)=ƒ’x(x,y)+λφ’x(x,y)=0， L’y(x,y)=ƒ’y(x,y)+λφ’y(x,y)=0， φ(x,y)=0 由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

Answer 2

简单的写下过程:

Answer 3

我只会做第三题。1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=(xy+xz+yz+2x+2y+2z+3)/(xy+xz+yz+x+y+z+2)=(x+y+z+1)/(xy+xz+yz+x+y+z+2)+1,因为(x+y+z+1)/(xy+xz+yz+x+y+z+2)大于0，所以(x+y+z+1)/(xy+xz+yz+x+y+z+2)+1大于1，即1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)>1。又(x+y+z+1)/(xy+xz+yz+x+y+z+2)+1=(x+y+z+1)/[(x+y+z+1)+(xy+yz+xz+1)]+1=1/[1+(xy+xz+yz+1)/(x+y+z+1)]+1<---分子分母同时处以x+y+z+1，因为(xy+xz+yz+1)/(x+y+z+1)>0，所以1+(xy+xz+yz+1)/(x+y+z+1)>1,所以1/[1+(xy+xz+yz+1)/(x+y+z+1)]<1,所以1/[1+(xy+xz+yz+1)/(x+y+z+1)]+1<2,即1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)<2.
我刚看这道题的时候是想这样做的：用放缩法，因为x+1>x,所以1/(1+x)<1/x，其他两项类似处理。然后看了看xyz=1,可以去x非常小的一个数，然后只要yz取非常大的数就可以了，这样的话1/x就可以是一个非常大的数，这样的话1/x+y/1+z/1就不一定大于1小于二了。所以看来三个项分开用放缩法是不行的。然后我就猜猜看的整体处理了一下，没想到真的成功了。

第一道题虽然我没做出来，但是因为第三道题有点感悟。a+b+c=abc
的条件下a同样可以取任意的数，所以把各项分开放缩也不大可能，就算可能的话也可以用这种方法检验一下放缩的对不对。

没有人有更好的答案的话就把分给我吧，别浪费了。

Answer 4

1、三角换元 a=tanA,b=tanB,c=tanC A+B+C=180度并且A、B、C都在0到90度之间
原不等式可化为cosA+cosB+cosC<=3/2,用琴声不等式即可得到
1/3（(cosA+cosB+cosC)）<=cos((A+B+C)/3)
2.不妨设x最大
(1)当x=1,y=z=0时，不等式成立
(2)当x>=y>=z时，有x^2y+y^2z+z^2x<=x^2y+y^2z+z^2x+z(xy+(x-y)(y-z))
=(x+z)(x+z)y=(1-y)(1-y)y<=4/27
(3)当x>=z>=y时，有x^2y+y^2z+z^2x<=x^2y+y^2z+z^2x+(x-y)(y-z)(z-x)=x^2z+z^2y+y^2x同情况（2）可得结论
做完后发现该题楼上做的更简洁，献丑啦

3.换元x=a/b,y=b/c,z=c/a原不等式为：
1<(b/a+b)+(c/b+c)+(a/c+a)<2 （1）
b/a+b>b/a+b+c
c/b+c>c/a+b+c
a/c+a>a/a+b+c
三个不等式相加即可得（1）左边
b/(a+b)<(b+c)/(a+b+c)
c/b+c<(a+c)/(a+b+c)
a/a+c<(a+b)/(a+b+c)
上述三个不等式相加即可得（1）右边

Answer 5

1.用柯西不等式①1/（1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)*(1+1+1）≥1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)的平方
②（1+a²+1+b²+1+c²）（1/（1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)）≥9
即1/（1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)≥9/（1+a²+1+b²+1+c²）
接着考虑③a+b+c=abc a+b+c≥3*（abc开三次方） 得a²b²c²≥27
再看②的最后的分母，即为3+a²+b²+c² 可得a²+b²+c²≥3*（a²b²c²开三次方）
所以3+a²+b²+c²≥12
1/（1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)≥9/12
1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)的平方≤9/4 故
1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2