Question

三道高一数学题

1.设绝对值小于1的全体实数的集合为S,在S中定义一种运算*,使得a*b=(a+b)/(1+ab).求证：如果a与b属于S,那么a*b也属于S.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn*S(n-1)(n>=2,Sn不等于0),a1=2/9.
(1)求证：{1/Sn}为等差数列；
(2)求满足an>a(n-1)的自然数n的集合
3.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=A*n+B,n=1,2,3……其中A,B为常数.
(1)求A,B
(2)求证：{an}为等差数列.
附加一点：我怀疑第三题出错了，纯属个人观点

Answer 1

1、依题意，S={x|-1<x<1}
如果a与b∈S，那么-1<a<1，-1<b<1，则a*b=(a+b)/(1+ab)
要证a*b∈S，就是要证明-1<a*b<1，只要证明(a*b+1)(a*b-1)<0即可
(a*b+1)(a*b-1)
=[ (a+b)/(1+ab)+1] [ (a+b)/(1+ab)-1]
=[a+b-1-ab] [a+b+1+ab]/(1+ab)²
=[(a-1)(1-b)] [(a+1)( b+1)] /(1+ab)²
因为-1<a<1，-1<b<1，所以a-1<0，1-b>0，a+1>0，b+1>0，所以上式小于0，故原命题得证

2、(1)运用公式an=Sn-S(n-1)
因为an=Sn*S(n-1)，将an=Sn-S(n-1)代入得Sn*S(n-1)=Sn-S(n-1)，等式两边同除以Sn*S(n-1)得
[1/Sn]-[1/S(n-1)]= -1，所以{1/Sn}为等差数列
(2)上面已证出{1/Sn}为等差数列，公差为-1，首项为1/S1=1/a1=9/2，可写出1/Sn=(1/S1)+( -1)(n-1)= (11/2)-n
所以Sn=2/ (11-2n)，递推得S(n-1)=2/ [11-2(n-1)]=2/ (13-2n) (n≥2)，这两个式子相减得
Sn-S(n-1)=[2/ (11-2n)]-[2/ (13-2n)]=4/[(11-2n)(13-2n)] (n≥2)
即an=4/[(11-2n)(13-2n)] (n≥2)，从而
当n=1时，an=2/9；
当n≥2时，an=4/[(11-2n)(13-2n)]
由于an的首项a1不在通项公式里，所以a1要单独讨论，由通项公式可算得a2=4/63，又a1=2/9，所以
当n=2时，a2<a1，不符题意
当n≥3时，要使an>a(n-1)，有4/[(11-2n)(13-2n)] >4/[(11-2(n-1))(13-2(n-1))]，
这个不等式化简得(2n-11) (2n-13) (2n-15)<0，解之得
n<11/2或13/2<n<15/2
综上所述，n=3、4、5、7

3、(1)对(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=nA+B，
令n=1得(5-8)S2-(5+2)S1=A+B，即-3S2-7S1=A+B，即-3(a1+a2)-7a1=A+B，代入已知条件得-3*(1+6)-7*1=A+B，化简得
A+B= -28 …………①；
令n=2得(5*2-8)S3-(5*2+2)S2=2A+B，即2S3-12S2=2A+B，即2(a1+a2+a3)-12(a1+a2)=2A+B，代入已知条件得2*(1+6+11)-12*(1+6)=2A+B，化简得
2A+B= -48 …………②；
①②联立解得A= -20，B= -8
(2)假设{an}为等差数列，由已知条件a1=1，a2=6，a3=11，可知首项为a1=1，公差为d=5，所以可直接写出
Sn=na1+n(n-1)d/2=n+5n(n-1)/2= n(5n-3)/2，进而S(n+1)=(n+1)[5(n+1)-3]/2=(n+1)(5n+2)/2，所以
(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=(5n-8)[(n+1)(5n+2)/2]-(5n+2)[n(5n-3)/2]= -20n-8=nA+B，即
(5n-8)S(n+1)-(5n+2)Sn=nA+B成立，
所以假设正确，所以{an}为等差数列

Answer 2

1:
2:(1)a(n+1)=s(n+1)-s(n)=s(n+1)*s(n)然后把右边除过去即得证；
（2） 1/Sn是首相为 2/9，公差为-1的等差数列；可求出a(n)和a(n-1)的表达式，使an>a(n-1)即可解得n的范围为n等于2或n大于4.
3：

Answer 3

1.

(1-|a|)(1-|b|)=1+|ab|-|a|-|b|>0

1+|ab|>|a|+|b|>=0

(|a|+|b|)/(1+|ab|)<1

a、b均为非负数时，显然(a+b)/(1+ab)=(|a|+|b|)/(1+|ab|)<1

a、b均为负数时，显然(a+b)/(1+ab)=-(|a|+|b|)/(1+|ab|)

|(a+b)/(1+ab)|<1

a、b中一正一负时，

不妨设a<0

(1-a)(1-b)>0

1+ab>a+b

-1<(a+b)/(1+ab)<1

2.

(1)

an=Sn-S(n-1)=Sn*S(n-1)

1/S(n-1)-1/Sn=1

1/Sn=1/S(n-1)-1

得证

(2)

1/S1=1/a1=9/2

1/Sn=11/2-n

Sn=2/(11-2n)

n>=2时

an=Sn-S(n-1)=4/((11-2n)(13-2n))

an>a(n-1)

解得

3<=n<=5或n=7，n为整数

3.

(1)

带入数据可得

A=-20

B=-8

(2)

此题第二问方法很多，平时建议吃透所有方法，考试时可选取最取巧最简洁的方法三

（方法一）

(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=-20n-8

(5n-8)Sn+(5n-8)a(n+1)-(5n+2)Sn=-20n-8

(5n-8)a(n+1)-10Sn=-20n-8

(5n-13)*an-10S(n-1)=-20n+12

(5n-8)*a(n+1)-(5n-3)*an=-20

a(n+1)/(5n-3)-an/(5n-8)=-20/((5n-8)(5n-3))

a1/(5*1-8)=-1/3

an/(5n-8)=-1/3+(-20)*(1/5)(-1/3-1/(5n-8))=(5n-4)(5n-8)

an=5n-4

故{an}为等差数列

（方法二）

(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=-20n-8

(5n-3)*S(n+2)-(5n+7)*S(n+1)=-20n-28

(5n-3)*S(n+2)-(10n-1)*S(n+1)+(5n+2)*Sn=-20

(5n+2)*S(n+3)-(10n+9)*S(n+2)+(5n+7)*S(n+1)=-20

(5n+2)*S(n+3)-(15n+6)*S(n+2)+(15n+6)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=0

(5n+2)*a(n+3)-(10n+4)*a(n+2)+(5n+2)*a(n+1)=0

又5n+2不为0，可约去

a(n+3)-a(n+2)=a(n+2)-a(n+1)

故{an}为等差数列.

（方法三）当然，这题也有更简单的方法：

经观察得an=5n-4

代入递推式(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=-20n-8

用数学归纳法证明an=5n-4为正确的

然后下一步绝对不可遗漏！

由递推式

(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=-20n-8

由于这是一个线性递推式

因此可说明{an}的通项公式被唯一确定

即{an}的通项公式为an=5n-4

故{an}为等差数列

如果这一步说明被遗漏了，只能保证{an}为等差数列是题设的充分条件，而不是充要条件（因为并不是每个数列都有且只有一个通项公式），所以此步说明必不可少！

Answer 4

1.

(1-|a|)(1-|b|)=1+|ab|-|a|-|b|>0

1+|ab|>|a|+|b|>=0

(|a|+|b|)/(1+|ab|)<1

a、b均为非负数时，显然(a+b)/(1+ab)=(|a|+|b|)/(1+|ab|)<1