Question

二重积分简单问题求助！高手请进！

积分轮换对称性：对换x和y，边界方程不变即积分区域不变即可，那么对于被积函数有要求对换x和y，被积函数值不变吗？还有积分区域关于y=x对称，这个也属于轮换对称性吗？它有和轮换对称性相同的结论吗？
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Answer 1

坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。

(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0， 也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS ，同样可以进行多种其它的变换。

(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可。比如:如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积 分 ∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy.

(3) 将1中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类和（2）总结相同。

(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分取间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。

注意两点，一是被积函数关于某一变量的奇偶性，二是看一下积分区域，是否关于该变量坐标轴两边对称。

比如说2维空间，如果被积函数是X的积函数，那么考察积分区域，是否关于Y对称。如果想要考察X，Y坐标是否可对换，那么就需要考察积分区域是否关于y=x对称。

三维空间类似，如果被积函数是X的积函数，那么考察积分区域，看一下是否关于YZ平面对称。所谓的轮换对称，如果要满足的话，就需要三者之间都可互换了。

但是要注意，这里有一个特殊情况，就是对坐标的曲面积分，例如∫∫X^2dydz,如果x^2是关于YZ平面对称，x^2是偶函数，则这个积分是零，原因是对于坐标的曲面积分，前面和后面的积分符号刚好相反。