Question

求曲线积分详解

百度百科原文：先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
首先，这个密度分布函数是个什么东西?怎么是二元的？（两个自变量）
还有，如果我没说错，二元函数怎么会在L上且在L上连续？（因为上面有个图，L分明是一元函数曲线，二元函数能在一元函数曲线上连续？）
以及，dm=ρ(x,y)ds咋来的？也没个过程。
对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。这个也看不懂，望高人指点迷津！

Answer 1

首先我先解释一下，你例子中的这个积分是第一型曲线积分，也可以说第一型曲线积分是由这个物理问题抽象出来的数学公式。

下面我来回答你的问题。
1.这个密度分布函数是个什么东西?怎么是二元的？（两个自变量）
答：这个问题我分2方面回答你，首先说明密度与位置的关系，其次说明为什么函数是二元的。
1）所谓的密度分布函数，就是这个零件在某一点上的密度，由于这个零件有可能不是均匀材质制作的，所以这个零件的不同位置的密度也不完全相同，即密度随位置的变化而变化。所以密度是位置的函数。
2）我们应该看到，这个零件是放在x0y平面上的，即当x取某一个值时，y的取值并不唯一（例如这个零件是一个圆环），所以如果位置仅有x确定，则密度有可能有1个或者1个以上的数值，所以位置需要有两个变量（即x,y）决定，即它是二元函数。

2.二元函数怎么会在L上且在L上连续？（因为上面有个图，L分明是一元函数曲线，二元函数能在一元函数曲线上连续？）
答：这个图我没有看，不清楚，但是我想这个L应该是一个曲线，由第一问可以知道，这个函数是一个二元函数，所以其定义域是二元的，这条曲线L并不是一元函数，而是二元的定义域。

3.dm=ρ(x,y)ds咋来的？
答：这个是微分的表达式，你可以这样理解，s就是面积，ds就是很小的面积；
m是质量，dm就是在ds上的质量，当ds很小的时候近似为一个点，而它的密度是ρ(x,y)，所以他的质量就是dm=ρ(x,y)ds

4.∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy
答：这个是第二型曲线积分，是根据变力在路径上做功这个物理模型抽象出来的数学积分。如果你还是不能理解，可以看看《数学分析》，或者看看有关第一型曲线积分和第二型曲线积分的介绍