Question

概率论的应用题 求解答 急~！！！

1. 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵，若使用100小时后，雷达失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.2，若两部分失灵与否独立，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。
2.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5、0.6、0.7，求至少有一个人中靶的概率。
5．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3.又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。
6．已知电源电压X服从正态分布N（ ），在电源电压处于X ，200V ，X 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.01、0.2，求（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率。
7．设（X，Y）服从G= 上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。
8．设（X，Y）服从G= 上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。

下面两题打不出大括号 应该看得懂吧？
3．设随机变量X的分布函数为 F（x）=0 x<1; 1/3 1<=x<3; 1/2 3<=x<4; 5/6 4<=x<6; x>=6
求下列概率： P{X>2}及P{|X-1|>4}
4．设随机变量X的分布函数为F(x)=0 x<-5;1/5 -5<=x<-2; 3/10 -2<=x<0
;1/2 0<=x<2; 1 x>=2
求下列概率：P{X>-5}及P{|X+1|>2}
6．已知电源电压X服从正态分布N（220,25的二次方），在电源电压处于X<=220V ，200V<X<=240V，X>240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.01、0.2，求（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率。

7．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=1,1<=y<=2}上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。

8．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=2,0<=y<=1} 上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。

Answer 1

1、（1-0.1）×（1-0.2）=0.72。
2、无人中靶的概率为：（1-0.5）×（1-0.6）×（1-0.7）=0.06，
至少有一人中靶的概率：1-0.06=0.94。

5、
（1）
①敌机中一弹就坠落的情况：
第一次中弹且坠落，概率：0.3×0.2=0.06，
第一次未中弹，第二次中弹且坠落，概率：(1-0.3)×0.3×0.2=0.042，
前两次均未中弹，第三次中弹且坠落，概率：(1-0.3)×(1-0.3)×0.3×0.2=0.0294；
合计：0.3×0.2+(1-0.3)×0.3×0.2+(1-0.3)×(1-0.3)×0.3×0.2=0.1314。
0.06+0.042+0.0294=0.1314。

②敌机中两弹才坠落的情况：
第一次中弹未坠落，第二次中弹且坠落，概率：0.3×(1-0.2)×0.3×0.6=0.0432；
第一次未中弹，第二次中弹未坠落，第三次中弹且坠落，概率：(1-0.3)×0.3×(1-0.2)×0.3×0.6=0.03024；
第一次中弹未坠落，第二次未中弹，第三次中弹且坠落，概率：0.3×(1-0.2)×(1-0.3)×0.3×0.6=0.03024；

合计： 0.0432+0.03024+0.03024=0.10368。

③敌机中三弹才坠落的情况：
第一次中弹未坠落，第二次中弹未坠落，第三次中弹（必坠落），概率：0.3×(1-0.2)×0.3×(1-0.6)×0.3=0.00864。

故敌机中弹坠落的概率为：
0.1314+0.10368+0.00864=0.24372。

解法二：
先求敌机没有被击落的概率。
①敌机未被击中的概率：(1-0.3)^3=0.343；
②敌机仅中弹一次且不坠落的概率：3×(1-0.3)^2×0.3×(1-0.2)=0.3528；
③敌机仅中弹两次且不坠落的概率：3×(1-0.3)×0.3^2×(1-0.2)×(1-0.6) =0.06048；
故敌机未被击落的概率为：
0.343+0.3528+0.06048=0.75628；
敌机中弹坠落的概率：1-0.75628=0.24372。

解法三：
①敌机被第一发炮弹被击落的情况，概率：0.3×0.2=0.06；

②敌机被第二发炮弹被击落的情况，
第一次中弹未坠落，第二次中弹且坠落，概率：0.3×(1-0.2)×0.3×0.6=0.0432；
第一次未中弹，第二次中弹且坠落，概率：(1-0.3)×0.3×0.2=0.042；
合计：0.3×(1-0.2)×0.3×0.6+(1-0.3)×0.3×0.2=0.0852。
0.0432+0.042=0.0852。

③敌机被第三发炮弹被击落的情况，
前两次均未中弹，第三次中弹且坠落，概率：(1-0.3)^2×0.3×0.2=0.0294；
第一次未中弹，第二次中弹未坠落，第三次中弹且坠落，概率：(1-0.3)×0.3×(1-0.2)×0.3×0.6=0.03024；
第一次中弹未坠落，第二次未中弹，第三次中弹且坠落，概率：0.3×(1-0.2)×(1-0.3)×0.3×0.6=0.03024；
第一次中弹未坠落，第二次中弹未坠落，第三次中弹（必坠落），
0.3×(1-0.2)×0.3×(1-0.6)×0.3=0.00864。
合计：(1-0.3)^2×0.3×0.2+(1-0.3)×0.3×(1-0.2)×0.3×0.6+0.3×(1-0.2)×0.3×(1-0.6)×0.3=0.06828。
0.0294+0.03024+0.03024+0.00864=0.09852。

故敌机中弹坠落的概率为：
0.06+0.042+0.0294+0.0432+0.03024+0.00864=0.21348。
0.06+0.0852+0.09852=0.24372。

（2）这里把“中两弹”理解为仅中两弹。
由条件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)。
用A表示事件{敌机仅中两弹}，
用B表示事件{敌机被击落}，
则AB表示事件{敌机仅中两弹且被击落}。由（1）的第一种方法知，
P(AB)=0.10368，
又P(B)=0.24372，
所以敌机被击落的情况下，它中两弹的概率为：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.10368/0.24372=0.4254062038≈0.4254。

如果把“中两弹”理解为至少中两弹，
用C表示事件{敌机至少中两弹}，
用B表示事件{敌机被击落}，
则CB表示事件{敌机至少中两弹且被击落}。由（1）的第一种方法知，
P(CB)=0.10368+0.00864=0.11232，
又P(B)=0.24372，
所以敌机被击落的情况下，它至少中两弹的概率为：P(C|B)=P(CB)/P(B)=0.11232/0.24372=0.4608567208≈0.4609。

6、解：
题目输入有误，推断，应该是“在电源电压处于X<=200V ，……”而非“在电源电压处于X<=220V ，……”。
因为X～N(220, 25^2)，所以，Y=(X-220)/25～N(0, 1)，
(200-220)/25=-0.8，(240-220)/25=0.8，
查正态分布表，Φ(0.8)=0.7881，
所以，P{X<=200V}=P{Y<=-0.8}=Φ(-0.8)=1-Φ(0.8)=0.2119，
P{200V<X<=240V}=P{-0.8<Y<=0.8}=Φ(0.8)-Φ(-0.8)=2Φ(0.8)-1=0.5762，
P{X>240V}=P{Y>0.8}=1-P{Y<=0.8}=1-Φ(0.8)=0.2119，

（1）该电子元件损坏的概率为：P{X<=200V}*0.1+P{200V<X<=240V}*0.01+P{X>240V}0.2
=0.2119*0.1+0.5762*0.01+0.2119*0.2
=0.069332；

（2）
用A表示事件{该电子元件损坏}，
用B表示事件{电源电压在200～240V}，
则AB表示事件{电源电压在200～240V，该电子元件损坏}。
则P(A)=0.069332，P(B)=0.5762，
P(AB)=P(B)*0.01=0.005762，
由条件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.005762/0.069332=0.0831。

7、解：区域G是一个单位正方形，面积是1，所以
（1）(X, Y)联合概率密度函数为：
{ 1, 0<=x<=1, 1<=y<=2，
f(x,y)= {
{0, 其它。

（2）
X的边缘密度函数为：f1(x)=∫f(x,y) dy（积分区间[1, 2]）
{ 1, 0<=x<=1，
= {
{ 0, 其它。

Y的边缘密度函数为：f2(y)=∫f(x,y) dx（积分区间[0, 1]）
{ 1, 1<=y<=2，
= {
{ 0, 其它。

X边缘分布函数为：
F1(x)=∫ f1(t) dt（积分区间(-∞, x]）
{ 0，x≤0，
= { x，0<x<1，
{ 1，x≥1。

Y边缘分布函数为：
F2(y)=∫ f2(t) dt（积分区间(-∞, y]）
{ 0，y≤1，
= { (y-1)，1<y<2，
{ 1，y≥2。

8、解：与7题类似，区域G是一个长方形区域，0<=x<=2, 0<=y<=1，面积是2，所以
（1）(X, Y)联合概率密度函数为：
{ 1/2, 0<=x<=2, 0<=y<=1，
f(x,y)= {
{0, 其它。

（2）
X的边缘密度函数为：f1(x)=∫f(x,y) dy（积分区间[1, 2]）
{ 1/2, 0<=x<=2，
= {
{ 0, 其它。

Y的边缘密度函数为：f2(y)=∫f(x,y) dx（积分区间[0, 1]）
{ 1, 0<=y<=1，
= {
{ 0, 其它。

X边缘分布函数为：
F1(x)=∫ f1(t) dt（积分区间(-∞, x]）
{ 0，x≤0，
= { x/2，0<x<2，
{ 1，x≥2。

Y边缘分布函数为：
F2(y)=∫ f2(t) dt（积分区间(-∞, y]）
{ 0，y≤0，
= { (y-1)，0<y<1，
{ 1，y≥1。

3．设随机变量X的分布函数为
{ 0, x<1;
{ 1/3, 1<=x<3;
F(x)= { 1/2, 3<=x<4;
{ 5/6, 4<=x<6;
{ 1, x>=6。
求下列概率： P{X>2}及P{|X-1|>4}。

解：P{X>2}=1-P{X≤2}=1-F(2)=1-1/3=2/3，
P{|X-1|>4}=1-P{|X-1|≤4}=1-P{-3≤X≤5}=1-F(5)+F(-3)=1-5/6+0=1/6。

4．设随机变量X的分布函数为

{ 0, x<-5;
{ 1/5, -5<=x<-2;
F(x)= { 3/10, -2<=x<0 ;
{ 1/2, 0<=x<2;
{ 1, x>=2。

求下列概率：P{X>-5}及P{|X+1|>2}。

解：与3题类似，
P{X>-5}=1-P{X≤-5}=1-F(-5)=1-1/5=4/5，（P{X=-5}=1/5）
P{|X+1|>2}=1-P{|X-1|≤2}=1-P{-1≤X≤3}=1-F(3)+F(-1)=1-1+1/5=1/5。

Answer 2

1. 一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵，若使用100小时后，雷达失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.2，若两部分失灵与否独立，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。

设事件 A ＝{ 使用100小时后雷达没有失灵 } ,
事件 B ＝{ 使用100小时后计算机未失灵 } ,
则所求概率为
P{A} P{B} = [1 - P{A逆}] [1 - P{B逆}] = (1 - 0.1) (1 - 0.2) = 0.72 .

2.甲、乙、丙三人各射一次靶，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5、0.6、0.7，求至少有一个人中靶的概率。

设事件A = { 甲射中靶 } , 事件B = { 乙射中靶 }, 事件C = { 丙射中靶 }.
则所求概率为
1 - [1 - P(A)] [1 - P(B)] [1 - P(C)]
= 1 - (1 - 0.5) (1 - 0.6) (1 - 0.7) = 0.94 .

3．设随机变量X的分布函数为
F(x) = 0 , x<1; 1/3 , 1<=x<3; 1/2 , 3<=x<4; 5/6 4<=x<6; 1 , x>=6
求下列概率： P{X>2}及P{|X-1|>4}

P{X > 2} = 1 - P{X <= 2} = 1 - F(2) = 1 - 1/3 = 2/3 .
P{|X - 1| > 4} = P{X < -3 或 X > 5} = P{X < -3} + P{X > 5}
= P{X > 5} = 1 - P{X <= 5} = 1 - F(5) = 1 - 5/6 = 1/6 .

4．设随机变量X的分布函数为
F(x)=0 , x<-5; 1/5 , -5<=x<-2; 3/10 , -2<=x<0 ;1/2 , 0<=x<2; 1 , x>=2.
求下列概率：P{X>-5}及P{|X+1|>2}

P{X > -5} = 1 - P{X <= -5} = 1 - F(-5) = 1 - 1/5 = 4/5 .
P{|X + 1| > 2} = P{X < -3 或 X > 1} = P{X < -3} + P{X > 1}
= P{X < -3} + 0 = P{X <= -3} = F(-3) = 1/5 .

5．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3.又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6，若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。

设事件 Ai = { 敌机中 i 弹 } , i = 0 , 1 , 2 , 3 .
事件 B = { 敌机被击落 } ,
则 P(A0) = (1 - 0.3)^3 = 0.343 ,
P(A1) = 3 * 0.3 * (1 - 0.3)^2 = 0.441 ,
P(A2) = 3 * 0.3^3 * (1 - 0.3) = 0.189 ,
P(A3) = 0.3^3 = 0.027 ,
(1) P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3) P(B | A3)
= 0.441 * 0.2 + 0.189 * 0.6 + 0.027 * 1
= 0.0882 + 0.1134 + 0.027 = 0.2286 .
(2) P(A2 | B) = P(A2 B) / P(B) = P(A2) P(B | A2) / P(B)
= 0.1134 / 0.2286 = 63/127 .

6．已知电源电压X服从正态分布N（220,25的二次方），在电源电压处于X<=200V ，200V<X<=240V，X>240V三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.01、0.2，求（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率。

设事件 A = { 电源电压 X <= 220V },
事件 B = { 电源电压 200V < X <= 240V },
事件 C = { 电源电压 X > 240V },
事件 D = { 电子元件损坏 } .
则 P(A) = F(200) = Φ( (200 - 220) / 25 ) = Φ(-0.8) = 1 - Φ(0.8),
P(B) = F(240) - F(200)
= Φ( (240 - 220)/25 ) - Φ( (200 - 220)/25 )
= Φ(0.8) - Φ(-0.8) = 2 Φ(0.8) - 1 ,
P(C) = 1 - F(240) = 1 - Φ( (240 - 220)/25 ) = 1 - Φ(0.8) .
(1) P(D) = P(A) P(D | A) + P(B) P(D | B) + P(C) P(D | C)
= [1 - Φ(0.8)] * 0.1 + [2 Φ(0.8) - 1] * 0.01
+ [1 - Φ(0.8)] * 0.2
= 0.29 - 0.28 Φ(0.8) .
经查表得 Φ(0.8) ＝ 0.788 ,
所以 P(D) ≈ 0.0642 .
(2) P(B | D) = P(B D) / P(D) = P(B) P(D | B) / P(D)
= [2 Φ(0.8) - 1] * 0.01 / [0.29 - 0.28 Φ(0.8)]
= [2 Φ(0.8) - 1] / [29 - 28 Φ(0.8)]
≈ 0.009

7．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=1,1<=y<=2}上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。

(1) f(x,y) = 1 , 0 <= x <= 1 , 1 <= y <= 2 ; 0 , 其他 .
(注：两行的大括号没打出来，应该看得懂吧！下面有分号“;”的同理。)
(2) fX(x) = ∫(_1)(^2) f(x,y) dy = 1 * 1 = 1 , 0 <= x <= 1 .
(注：∫(_1)(^2)表示积分下限是1上限是2，能看懂吧.)
所以 fX(x) = 1 , 0 <= x <= 1 ; 0 . 其他 .
fY(y) = ∫(_0)(^1) f(x,y) dx = 1 * 1 = 1 , 1 <= y <= 2 .
所以 fY(y) = 1 , 1 <= y <= 2 ; 0 . 其他 .
FX(x) = ∫(_0)(^x) fX(x) dx = x , 0 <= x <= 1 ,
所以 FX(x) = 0 , X < 0 ; x , 0 <= x <= 1 ; 1 , x > 1 .
FY(y) = ∫(_1)(^y) fY(y) dy = y - 1 , 1 <= y <= 2 ,
所以 FY(y) = 0 , Y < 1 ; y - 1 , 1 <= y <= 2 ; 1 , y > 2 .

8．设（X，Y）服从G={(x,y)|0<=x<=2,0<=y<=1} 上的均匀分布，
求（1）（X，Y）密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数。

(1) f(x,y) = 1/2 , 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= 1 ; 0 , 其他 .
(2) fX(x) = ∫(_0)(^1) f(x,y) dy = (1/2) * 1 = 1/2 , 0 <= x <= 2 .
所以 fX(x) = 1/2 , 0 <= x <= 2 ; 0 . 其他 .
fY(y) = ∫(_0)(^2) f(x,y) dx = (1/2) * 2 = 1 , 0 <= y <= 1 .
所以 fY(y) = 1 , 0 <= y <= 1 ; 0 . 其他 .
FX(x) = ∫(_0)(^x) fX(x) dx = x/2 , 0 <= x <= 2 ,
所以 FX(x) = 0 , X < 0 ; x/2 , 0 <= x <= 2 ; 1 , x > 2 .
FY(y) = ∫(_0)(^y) fY(y) dy = y , 0 <= y <= 1 ,
所以 FY(y) = 0 , Y < 1 ; y , 0 <= y <= 1 ; 1 , y > 1 .

Answer 3

1.(1-0.1)*(1-0.2)=0.72
2.1-(1-0.5)*(1-0.6)*(1-0.7)=0.94
5.3*0.3*0.7*0.7*0.2+3*0.3*0.3*0.7*0.6+0.3*0.3*0.3=0.2286
(3*0.3*0.3*0.7*0.6)/0.2286=63/127

6题咋2个x

Answer 4

采那吧