Question

一道初中数学题，大家帮忙解答一下。

小明在做题时发现了这样一个规律:如图,在边长为a的等边三角形ABC的内部,随意找一P，过点P作PD‖AB，PE‖BC，PF‖AC，无论P取在什么位置，PD+PE+PF都等于a，这难道是一种巧合吗？你能用你所学的理论知识说明一下其中的道理吗？
D、E、F分别交于BC,AC,AB ，图就自己画起来看一下吧

Answer 1

画出来就是三个等腰梯形么
三条平行线，用下两直线平行，同位角相等
再两底角相等，易证出是三个等腰梯形AFPE、PECD、PDBF
根据两腰相等
就有了PD=EC
然后过F点，作FM‖BC
所以FMPE就是平行四边形
根据60度，AFM就是等边三角形
PE=FM=AM
PF=ME
即PD+PE+PF=EC+AM+ME=AC=a

Answer 2

这是一个由三个等腰梯形组成的等边三角形，
过E作EM‖PD,交BC于D，分等腰梯形为等边三角形与平行四边形，
所以
PD=EM=CM PE=DM
又PF=BD
所以PD+PE+PF=a

Answer 3

可以先自己绘图，然后用中位线的原理，可以证明出来。

Answer 4

证明：（1）延长DP至AC交于G点；（做出证明的辅助线）（2）因为DG‖BA，而△ABC为等边三角形，所以△DGC为等边三角形，所以DG=GC；（3）同理可证△PGE为等边三角形，所以PG=PE；（4）因为PG‖AB,PF‖AC,所以AFPG为平行四边形，所以PF=AG；（4）所以PD+PE+PF=PD+PG+AG=DG+AG=CG+AG=AC=a.

Answer 5

画出来 延长DP交AC于H
在等腰梯形DPEC中DP=EC
等边三角形PHE中PE=HE
平行四边形PFAH中PF=AH
PD+PE+PF=EC+HE+AH=AC=a