Question

高中数学导数一题 高手进

f(x)=x^2+(m/x)-3有三个不同的零点 求m的范围

希望高手耐心给个详解。

Answer 1

注： 用图像法来解

解：

   f(x)=x²+m/3-4=0的解  可以看成是  y1=x²-4 与 y2=-m/x联立的解

       在坐标上表示 y1  y2    如图（下面的图）

           y1=x²-3  y2=-m/x的图像有三个交点，

                一个在第一象限，两个在第三象限

           当|-m|变大时候，y2=-m/x会逐渐向外移动，当y1 y2在第三象限

   向切时，y1 y2只有两个交点了；再向外就只有一个交点

            所以 m的临界值出现在 相切的时候

               设这个切点为A   因为y1 y2在A相切，切线相同

                           

                              所以   y1 y2的导数在此处相等

                          y1'=2x=y2'=m/x² ==> x=(m/2)^1/3

               又  y1  y2都过切点 将x带入

                        y1=x²-3=y2=-m/x ==>m=2或者-2

                    即  临界的相切点时 |m|=2

          所以，当|m|<2时 ，y1 y2有3个交点

               即所求的m的范围  是     -2<m<2

Answer 2

f(x)=x^2+(m/x)-3=0转化成x^3-3x+m=0即-x^3+3x=m再通过求函数g（x）=-x^3+3x的极大值和极小值即可