Question

已知二次函数y=(m^2-2)x^2-4mx+n的图象的对称轴是直线x=2,且它的最高点在直线y=1/2x+1上

(1)求这个二次函数的解析式；
（2）若这个二次函数的图像的开口不变，当顶点在直线y=1/2x+1上移动到点M时，图象与x轴恰巧交于A,B两点,且△ABM的面积等于8，求此时的二次函数的解析式。

Answer 1

解:已知函数类型,用待定系数法
y=(m^2-2)x^2-4mx+n对称轴是x=2m/(m^2-2)=2
m^2-m-2=0
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
有最高点，所以开口向下
所以m^2-2<0
所以m=-1

y=-x^2+4x+n=-(x-2)^2+n+4
所以最高点(2,n+4)
在y=1\2x+1上
所以n+4=2*1/2+1=2

所以f(x)=-x^2+4x+2
(2)此时二次函数的解析式可以化为y=-x^2+4x+n=-(x-2)^2+n+4
设XA大于XB,有根与系数的根系得XA+XB=4 XA*XB=-n
S=1/2*AB*(n+4)=1/2(XA-XB)(n+4)=1/2(√xa+xb)^2-4xaxb)*(n+4)=1/2(√4^2+4n)(n+4)
又S=8
所以1/2(√4^2+4n)(n+4)=8
解得n=2
所以此时的二次函数的解析式y=-x^2+4x+2

Answer 2

解:已知函数类型,用待定系数法
y=(m^2-2)x^2-4mx+n对称轴是x=2m/(m^2-2)=2
m^2-m-2=0
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
有最高点，所以开口向下
所以m^2-2<0
所以m=-1

y=-x^2+4x+n=-(x-2)^2+n+4
所以最高点(2,n+4)
在y=1\2x+1上
所以n+4=2*1/2+1=2

所以f(x)=-x^2+4x+2
(2)此时二次函数的解析式可以化为y=-x^2+4x+n=-(x-2)^2+n+4
设XA大于XB,有根与系数的根系得XA+XB=4 XA*XB=-n
S=1/2*AB*(n+4)=1/2(XA-XB)(n+4)=1/2(√xa+xb)^2-4xaxb)*(n+4)=1/2(√4^2+4n)(n+4)
又S=8
所以1/2(√4^2+4n)(n+4)=8
解得n=0所以此时的二次函数的解析式y=-x^2+4x