Question

两个线性无关的向量组相乘所得的矩阵一定是线性无关的么？

Answer 1

是的，因为A是m*n矩阵，B是n*l矩阵，因为线性无关，所以A的秩为n，B的秩为l。又因为A可逆，所以AB的秩等于B的秩等于l，所以得出结论二者无关。

若要判断两个线性无关的向量组相乘所得的矩阵是否相关，最直接的办法是一组向量中任意一个向量是否能由其它几个向量线性表示。如果可以则是线性相关，如果不能则是线性无关。

扩展资料

线性独立与矩阵秩的关系

不难证明若有n×n阶矩阵，如果它的n个行(列)向量是线性独立的，则该方阵的秩为n，反之如果其n个行向量或n个列向量是线性相关的，则其秩一定小于n，综上所述，可得定理如下：

定理1

n×n阶矩阵秩为n的充分必要条件是n个行向量或n个列向量是线性独立的。

定理2

设A为m×n阶矩阵，如果rankA=r，则其m个行向量中有r个是线性独立的，其他(m—r)个行向量可用其线性组合表出。此外n个列向量中也有r个是线性独立的，其它(n-r)个列向量亦可用其线性组合表出。由此可知，A矩阵的秩的数目就是A矩阵的最大的线性独立的行(列)向量的数目。

参考资料来源：百度百科—线性无关

参考资料来源：百度百科—线性相关

Answer 2

不是的呀。据你的字面意义，我举反例如下：
如
111, 112
是两个线性无关的向量组，每个向量组只有一个向量；
左作列向量，右作行向量相乘，得到矩阵
1 1 2
1 1 2
1 1 2
这个矩阵的行列式为零，各向量是线性相关的。

或者你说的不是这个意思？请再补充说明一下。

Answer 3

一定线性无关。理由如下:
∵两矩阵线性无关
∴两矩阵满秩且可逆
∵可逆矩阵可视为多个初等矩阵相乘(即对另一个矩阵做初等变换，初等变换不会改变矩阵的秩)
∴结果矩阵满秩，即线性无关

Answer 4

不一定的，如r（A）=m,r（B）=n.而r（AB）≦min｛m,n｝的

Answer 5

A都不是方阵 能是逆矩阵？