Question

二元一次不等式组的简单线性规划。

已知实数x、y满足2x²+4xy+2y²+x²y²≤9，令Ω=2√2(x+y)+xy,试求Ω的最大值和最小值。【Ω是二倍根号二乘以括号x+y再加上xy】

Answer 1

2x²+4xy+2y²+x²y²≤9

2(x+y)²+(xy)²≤9

利用柯西不等式(ab+cd)²≤(a²+c²)(b²+d²)可得：
(2√2(x+y)+xy)²≤(2²+1²)(2(x+y)²+(xy)²)≤45，
所以|Ω|≤3√5, －3√5≤Ω≤3√5。

柯西不等式达到最值时，a:c=b:d。
所以Ω达到最值时，2:1=[√2(x+y)]: (xy)，且2(x+y)²+(xy)²=9。
解得x+y=(3√2)/(√5), xy=3/(√5) 或 x+y=-(3√2)/(√5), -xy=3/(√5)
通过解2次方程可求得x，y。（代入公式即可，在此就不计算了）。

所以－3√5≤Ω≤3√5，最小值为－3√5，最大值为3√5。

追问

x+y和xy好像还有限定关系吧...因为x+y大于等于2√xy..

追答

所以最后要求解x,y做为验证。x，y有实数解即可。