Question

大一高数极限一道证明题

第7题求详解，只学了数列的极限，函数的极限，无穷大与无穷小，谢谢

Answer 1

　　函数的无界性必须用无界的定义来证明：对任意 M>0，总有足够大的 n，使
　　　　(2n+1/2)π > M，
取x0 = 1/(2n+1/2)π ∈ (0, 1]，则有
　　　　(1/x)sin(1/x) = [(2n+1/2)π]sin[(2n+1/2)π] = [(2n+1/2)π] > M，
据函数无界的定义可知该函数在(0, 1]无界。
　　其次，证明该函数在x→0+时非无穷大。事实上，取数列 x(n) = 1/(2nπ) ∈ (0, 1]，有
　　　　x(n)→0+，
但
　　　　[1/x(n)]sin[1/x(n)] = (2nπ)sin(2nπ) = 0 → 0 (n→∞)，
可知该函数在x→0+时非无穷大。

追问

当n非整数时sin(2nπ) 怎么会等于0？sin[(2n+1/2)π=cos(2nπ)怎么会等于1？

追答

这里的 n 都取自自然数。

追问

为什么呢，n取非自然数与题意不符吗？还是题目有要求n必为非自然数？ 对不起我问题有点多，表达上可能也不太好

追答

这是我取的数列，当然 n 得是自然数。

追问

虽然我还是不懂为什么可以忽略n为非自然数的情况 但就这样吧

追答

要说明否定的结论，只需举出例外的即可，该数列 x(n) 就是例外。

Answer 2

取1/x =2nπ 则x=1/2nπ 那么当n足够大是x-->0 此时y=0
再取1/x=2nπ+π/2 则x=1/2nπ+π/2 当n足够大是x-->0 y=2nπ+π/2 -->∞ 所以是无界的
实际上这个函数是震荡的，一会跳到0，一会跳到∞

追问

我想问一下，按照你的方法，当n足够大时，难道可以忽略n非整数时的情况吗？

追答

我这样取法已经把题目所要证明的问题解释了啊

追问

当n非整数时sin(2nπ) 怎么会等于0？sin[(2n+1/2)π=cos(2nπ)怎么会等于1？ 我是想问这个